Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）（3-a）x+1，x≤0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}+\frac{a}{2}，x＞0}\end{array}\right.$對?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，則實數(shù)a的取值范圍是0≤a＜1或a＞3．

Answer 1

分析 由任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，得函數(shù)為減函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系即可．

解答 解：∵f（x）滿足對任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立
∴函數(shù)f（x）在定義域上為減函數(shù)，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）（3-a）＜0}\\{1+a≥1}\end{array}\right.$，得0≤a＜1或a＞3，
故答案為：0≤a＜1或a＞3．

點評 本題主要考查分段函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．