Question

20．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}，x∈R）$的圖象的一部分如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）+f（x+2）在[-3，1]上的增區(qū)間及值域．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，從而得到函數(shù)的解析式．
（2）利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)y=f（x）+f（x+2）的解析式為 2$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$x，由此求得函數(shù)的在[-3，1]上的增區(qū)間及值域．

解答 解：（1）由圖象，知A=2，$\frac{2π}{ω}$=8，
∴ω=$\frac{π}{4}$，可得f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+φ），
當(dāng)x=1時(shí)，有$\frac{π}{4}$×1+φ=$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）y=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）+2sin[$\frac{π}{4}$（x+2）+$\frac{π}{4}$]
=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）+2cos（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）
=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{2}$）
=2$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$x，
∴函數(shù)在[-3，0]遞增，
x=0時(shí)，y最大，最大值是2$\sqrt{2}$，
x=-3時(shí)，y最小，最小值是-2，
故函數(shù)的值域是[-2，2$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．