Question

16．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax²-1，且f′（1）=-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有f（x）-mx≤-1，求m的最小值；
（Ⅲ）證明：函數(shù)y=f（x）-xe^x+x²的圖象在直線(xiàn)y=-2x-1的下方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1）=-1，求出a的值，從而求出函數(shù)的表達(dá)式即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx-x≤m，設(shè)g（x）=lnx-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的最小值即可；
（Ⅲ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證xlnx-xe^x+2x＜0，即只要證lnx＜e^x-2，根據(jù)g（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要證明當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x-1＜e^x-2 即可，設(shè)h（x）=（e^x-2）-（x-1）=e^x-x-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：對(duì)f（x） 求導(dǎo)，得f′（x）=1+lnx+2ax，
所以f′（1）=1+2a=-1，解得a=-1，
所以f（x）=xlnx-x²-1；
（Ⅱ）解：由f（x）-mx≤-1，得xlnx-x²-mx≤0，
因?yàn)閤∈（0，+∞），
所以對(duì)于任意x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx-x≤m，
設(shè)g（x）=lnx-x，則 g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
令g′（x）＞0，解得：x＜1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
所以g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
所以當(dāng)x=1時(shí)，g（x）max=g（1）=-1，
因?yàn)閷?duì)于任意x∈（0，+∞），都有g(shù)（x）≤m 成立，
所以 m≥-1
所以m 的最小值為-1；
（Ⅲ）證明：“函數(shù)y=f（x）-xe^x+x²的圖象在直線(xiàn)y=-2x-1的下方”
等價(jià)于“f（x）-xe^x+x²+2x+1＜0”，
即要證xlnx-xe^x+2x＜0，
所以只要證lnx＜e^x-2．
由（Ⅱ），得g（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）．
所以只要證明當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x-1＜e^x-2 即可，
設(shè)h（x）=（e^x-2）-（x-1）=e^x-x-1，
所以h′（x）=e^x-1，
令h′（x）=0，解得：x=0
由h′（x）＞0，得x＞0，所以h（x） 在（0，+∞）上為增函數(shù)．，
所以h（x）＞h（0）=0，即x-1＜e^x-2，
所以lnx＜e^x-2，
故函數(shù)y=f（x）-xe^x+x²的圖象在直線(xiàn)y=-2x-1的下方．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．