Question

【題目】如圖，在四凌錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，M是SC的中點，且SA=AB=BC=2，AD=1．

（1）求證：DM∥平面SAB；
（2）求四棱錐S﹣ABCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

取SB的中點N，連接AN、MN，

∵點M是SC的中點，∴MN∥BC，且BC=2MN，

∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD，AB⊥BC，BC=2，AD=1，

∴AD∥BC，且BC=2AD，∴MN∥AD，且MN=AD，

∴四邊形MNAD是平行四邊形，∴DM∥AN，

∵DM面SAB，AN面SAB，∴DM∥平面SAB

（2）解：∵AB⊥底面SAD，SA底面SAD，AD底面SAD，

∴AB⊥SA，AB⊥AD，∵SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD內的兩條相交直線，

∴側棱SA⊥底面ABCD，又在四棱錐S﹣ABCD中，側棱SA⊥底面ABCD，

底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，

∴

【解析】（1）要證DM∥平面SAB，可取SB的中點N，連接AN、MN，利用中位線知識及已知條件證明四邊形MNAD是平行四邊形，從而得到DM∥AN，由線面平行的判定得證；（2）由AB⊥平面SAD，結合線面垂直的性質得到SA⊥AB，再由已知SA⊥CD，利用線面垂直的判定得SA⊥底面ABCD，由直角梯形的面積公式求出底面積，直接代入棱錐體積公式得答案．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．