Question

如圖是一塊外輪廓線（A，B間的曲線部分）為拋物線的鋼板，MN為拋物線的對稱軸，A，B是拋物線上關于MN對稱的兩點，其中AB=2，MN=1，先要將其割成矩形PQRS，使矩形的兩個頂點P，Q落在線段AB上，另兩個頂點R，S落在拋物線上．（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�，求出這一拋物線的方程；
（2）求矩形PQRS面積的最大值．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,拋物線的應用

專題：計算題,應用題,作圖題,導數(shù)的綜合應用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）以頂點M為原點，拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標系，從而寫出點的坐標，代入方程求方程；
（2）設R（x，-x²），Q（x，-1），從而寫出面積S（x）=2x（1-x²）=2x-2x³，（0＜x＜1）；求導，由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．

解答： 解：（1）如圖，以頂點M為原點，拋物線的對稱軸為y軸，
建立直角坐標系，則B（1，-1），設拋物線方程為x²=-2py，
將B（1，-1）代入得，
P=

1

2

，
即拋物線方程為y=-x²（-1≤x≤1）；
（2）設R（x，-x²），Q（x，-1），
則矩形PQRS的長寬分別是2x，1-x²，
其面積為S（x）=2x（1-x²）=2x-2x³，（0＜x＜1）；
S′（x）=2-6x²，
令S′（x）=2-6x²=0解得，x=

3

3

；
列表如下，

x	（0， 3 3 ）	3 3	（ 3 3 ，1）
S′（x）	+	0	-
S（x）	上升	4 9 3	下降

則當x=

3

3

時，S（x）有最大值

4

9

3

；
故矩形PQRS的面積最大值為

4

9

3

．

點評：本題考查了圓錐曲線的應用，導數(shù)的綜合應用及作圖能力，同時考查了函數(shù)在實際問題中的應用，屬于難題．