Question

如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE，AC、BD交于點G．
（1）求證：AE⊥平面BCE； 
（2）求點C到平面BDF的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據已知條件先證明BC⊥平面ABE，進一步利用BF⊥平面ACE得到：BF⊥AE，最后證明AE⊥平面BCE．
（2）要求點C到平面BDF的距離，首先證明CF⊥平面BFG，然后根據線段之間的關系求的結果

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC∥AD
∵AD⊥平面ABE
∴BC⊥平面ABE
∵BF⊥平面ACE
∴BF⊥AE
∴AE⊥平面BCE
（2）解：∵AE=EB=BC=2且BF⊥平面ACE
∴F是EC的中點，
∴GF∥AE
∴GF⊥CE
又BF⊥CE
∴CF⊥平面BFG
點C到平面BDF的距離：即CF
∵EB=BC=2
∵EC²=BE²+BC²=8
利用勾股定理得：CF=

1

2

EC=

2

點評：本題考查的知識要點：線面垂直的性質定理和判定定理，點到平面的距離及相關的運算問題．