Question

4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足2acosC+c=2b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，利用正弦定理求得2sinAcosC+sinC=2sinB，再由sinB=sin（A+C），求得cosA=$\frac{1}{2}$，可得A的值．
（2）利用余弦定理、基本不等式求得 bc≤1，再由三角形面積公式求得它的最大值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）在△ABC中，∵2acosC+c=2b，
∴由正弦定理可得：2sinAcosC+sinC=2sinB．-----（1分）
又sinB=sin（A+C），∴2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sinC=2cosAsinC．-----（3分）
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A是三角形的內(nèi)角，
∴A=$\frac{π}{3}$．--（5分）
（2）∵a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴bc≤1．-----（8分）
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，即△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．-----（10分）

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦定理、余弦定理、基本不等式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．