Question

（本小題滿分12分）已知是橢圓的兩焦點，是橢圓在第一象限弧上一點，且滿足過點作傾斜角互補的兩條直線分別交橢圓于兩點，

（1）求點坐標;

（2）求證:直線的斜率為定值;

（3）求面積的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）證明如下；（3）；

【解析】

試題分析：（1）屬于基本題型，設出P點的坐標，P點既滿足橢圓的方程，又滿足,故可容易的解出P的坐標；（2）由斜率公式為，所以我們必須尋求以及的關系，這就需要我們通過聯(lián)立方程，列出韋達定理，從而得到以及的關系；（3）對于求解三角形的面積，我們通常有兩種方法，一種是借助角，利用，一種是，對于本題，由于沒有角的關系，所以，我們采用第二種辦法，通過點到直線的距離公式，求出三角形的高即可；

試題解析：（1）點的坐標為

（2）由題意知，兩直線的斜率必存在

設直線的斜率為，則直線的方程為

由，消去得

設，由韋達定理得

同理可得

所以為定值。

（3）由（2）可設直線的方程為，

聯(lián)立方程，得，消去得

由判別式大于0，得

易知點到直線的距離為

所以

當且僅當時取等號，滿足

所以面積的最大值為

考點：?考查向量積的公式?斜率公式③點到直線的距離公式