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【題目】已知橢圓的兩焦點在軸上,且短軸的兩個頂點與其中一個焦點的連線構(gòu)成斜邊為的等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)動直線交橢圓于兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點,使得以線段為直徑的圓恒過點?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由。
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【題目】如圖,在梯形中, , . ,且平面, ,點為上任意一點.
(1)求證: ;
(2)點在線段上運動(包括兩端點),若平面與平面所成的銳二面角為60°,試確定點的位置.
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【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)存在兩個極值點, ,且,證明: .
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【題目】某市場研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進的甲公司前期的經(jīng)營狀況,對該公司2019年連續(xù)六個月(5-10)月)的利潤進行了統(tǒng)計,并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應(yīng)的折線圖,如圖所示.
(1)由折線圖可以看出,可用線性回歸模型擬合月利潤(單位:百萬元)與月份代碼之間的關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程,并據(jù)此預(yù)測該公司2020年5月份的利潤;
(2)甲公司新研制了一款產(chǎn)品,需要采購一批新型材料,現(xiàn)有兩種型號的新型材料可供選擇,按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個月,但新材料的不穩(wěn)定性會導(dǎo)致材料損壞的年限不同,現(xiàn)對兩種型號的新型材料對應(yīng)的產(chǎn)品各100件進行科學(xué)模擬測試,得到兩種新型材料使用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計表(表).若從產(chǎn)品使用壽命的角度考慮,甲公司的負責(zé)人選擇采購哪款新型材料更好?
使用壽命 | 1個月 | 2個月 | 3個月 | 4個月 | 總計 |
材料類型 | |||||
20 | 35 | 35 | 10 | 100 | |
10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
參考數(shù)據(jù):,.
參考公式:回歸直線方程,其中,.
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【題目】已知橢圓的離心率為,左、右焦點分別是,橢圓上短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為;
(1)求橢圓的方程;
(2)過作垂直于軸的直線交橢圓于兩點(點在第二象限),是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點,若,求證:直線的斜率為定值.
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【題目】已知拋物線過點,直線過點與拋物線交于, 兩點.點關(guān)于軸的對稱點為,連接.
(1)求拋物線線的標準方程;
(2)問直線是否過定點?若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.
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【題目】某校設(shè)計了一個實驗考察方案:考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題,按照題目要求獨立完成全部實驗操作,規(guī)定:至少正確完成其中2道題的便可通過.已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成,2道題不能完成,考生乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.
(1)求甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的分布列,并計算其數(shù)學(xué)期望;
(2)請分析比較甲、乙兩考生的實驗操作能力.
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【題目】在平面直角坐標系中,O為坐標原點,以O為圓心的圓與直線相切.
(1)求圓O的方程.
(2)直線與圓O交于A,B兩點,在圓O上是否存在一點M,使得四邊形為菱形?若存在,求出此時直線l的斜率;若不存在,說明理由.
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【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱.某市為了了解人們對“一帶一路”的認知程度,對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽,滿分100分(90分及以上為認知程度高).現(xiàn)從參賽者中抽取了人,按年齡分成5組,第一組: ,第二組: ,第三組: ,第四組: ,第五組: ,得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知第一組有6人.
(1)求;
(2)求抽取的人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù));
(3)從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個體戶 五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分別記為1~5組,從這5個按年齡分的組和5個按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識競賽,分別代表相應(yīng)組的成績,年齡組中1~5組的成績分別為93,96,97,94,90,職業(yè)組中1~5組的成績分別為93,98,94,95,90.
(Ⅰ)分別求5個年齡組和5個職業(yè)組成績的平均數(shù)和方差;
(Ⅱ)以上述數(shù)據(jù)為依據(jù),評價5個年齡組和5個職業(yè)組對“一帶一路”的認知程度.
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