Question

5．如圖所示，半徑為R的半圓柱形玻璃柱，放置在直角坐標系xoy中，圓心與坐標系原點O重合，在第二象限中坐標為（-1.5R，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$R）的點A處，放置一個激光器（圖中未畫出），發(fā)出的兩束細激光束a和b，其中，激光束a平行于x軸射向玻璃磚，激光束b沿AO方向射向玻璃磚．已知激光在玻璃中的折射率為$\sqrt{3}$，試作出激光束a和b通過玻璃磚的光路圖，并證明a和b射出玻璃磚后是否相交．

Answer 1

分析 兩光束經(jīng)過兩次折射射入空氣，畫出光路圖．根據(jù)幾何知識得到兩光束的入射角，由折射定律求出折射角，結(jié)合數(shù)學知識判斷a和b射出玻璃磚后是否相交．

解答 解：激光束a、b經(jīng)過玻璃磚的折射光路圖如圖所示：
如圖，tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{1.5R}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得θ=30°
激光束b：
  在O點有：n=$\frac{sinθ′}{sinθ}$，得 θ′=60°
又　sinθ₁=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得 θ₁=60°
激光束a：在C點有：n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$，得 θ₂=30°
在E點有：n=$\frac{sin{θ}_{4}}{sin{θ}_{3}}$=$\frac{sin{θ}_{4}}{sin（{θ}_{1}-{θ}_{2}）}$，得 θ₄=60°
由θ₄=θ′，兩束光射出后應(yīng)平行，故不相交．
答：光路圖如圖所示，a和b射出玻璃磚后不相交．

點評 本題是幾何光學問題，畫出光路圖，運用折射定律和幾何知識結(jié)合進行求解，是常規(guī)方法．