Question

19．如圖甲，單匝圓形線圈c與電路連接，電阻R₂兩端與平行光滑金屬直導(dǎo)軌p₁e₁f₁、p₂e₂f₂連接．垂直于導(dǎo)軌平面向下、向上有矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ，它們的邊界為e₁e₂，區(qū)域Ⅰ中垂直導(dǎo)軌并緊靠e₁e₂平放一導(dǎo)體棒ab．兩直導(dǎo)軌分別與同一豎直平面內(nèi)的圓形光滑絕緣導(dǎo)軌o₁、o₂相切連接，o₁、o₂在切點(diǎn)f₁、f₂處開(kāi)有小口可讓ab進(jìn)入，ab進(jìn)入后小口立即閉合．
已知：o₁、o₂的直徑和直導(dǎo)軌間距均為d，c的直徑為2d；電阻R₁、R₂的阻值均為R，其余電阻不計(jì)；直導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且其平面與水平面夾角為60°，區(qū)域Ⅰ的磁感強(qiáng)度為B₀．重力加速度為g．在c中邊長(zhǎng)為d的正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直線圈平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化如圖乙所示，ab在t=0～$\sqrt{\frac{2d}{g}}$內(nèi)保持靜止．
（1）求ab靜止時(shí)通過(guò)它的電流大小和方向；
（2）求ab的質(zhì)量m；
（3）設(shè)ab進(jìn)入圓軌道后能達(dá)到離f₁f₂的最大高度為h，要使ab不脫離圓形軌道運(yùn)動(dòng)，求區(qū)域Ⅱ的磁感強(qiáng)度B₂的取值范圍并討論h與B₂的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）ab靜止時(shí)，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出c內(nèi)感生電動(dòng)勢(shì)的大小，由歐姆定律求出電流的大小，由楞次定律判斷電流的方向．
（2）ab靜止時(shí)受力平衡，重力沿導(dǎo)軌向下的分力與安培力二力平衡，由平衡條件列式可求ab的質(zhì)量．
（3）由題意知t=$\sqrt{\frac{2d}{g}}$后，c內(nèi)的磁感強(qiáng)度減為零，ab滑入?yún)^(qū)域Ⅱ磁場(chǎng)，由于此段足夠長(zhǎng)，ab最終應(yīng)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件可求出其勻速運(yùn)動(dòng)的速度表達(dá)式．要使ab不脫離圓形軌道運(yùn)動(dòng)，有兩種情況：ab滑不過(guò)圓心等高點(diǎn)或者滑過(guò)圓軌道最高，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件結(jié)合解答．

解答 解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律得c內(nèi)感生電動(dòng)勢(shì) E=S$\frac{△B}{△t}$=d²•${B}_{0}\sqrt{\frac{g}{2d}}$①
由全電路歐姆定律有 E=IR  ②（R₂被ab短路）
聯(lián)立①②解得：I=$\frac{d{B}_{0}}{R}$$\sqrt{\frac{gd}{2}}$=$\frac{d{B}_{0}}{2R}$$\sqrt{2gd}$ ③
根據(jù)楞次定律和右手螺旋定則（或者平衡條件和左手定則）判斷知ab中電流方向?yàn)閍→b ④
（2）由題意可知導(dǎo)軌平面與水平面夾角為 θ=60°，
對(duì)在t=0～$\sqrt{\frac{2d}{g}}$內(nèi)靜止的ab受力分析有 mgsinθ=B₀Id ⑤
聯(lián)立③⑤解得：m=$\frac{btxrlvv^{2}{B}_{0}^{2}}{gR}$$\sqrt{\frac{2}{3}gd}$=$\frac{dxdnzjt^{2}{B}_{0}^{2}}{3gR}$$\sqrt{6gd}$   ⑥
（3）由題意知t=$\sqrt{\frac{2d}{g}}$后，c內(nèi)的磁感強(qiáng)度減為零，ab滑入?yún)^(qū)域Ⅱ，
由直導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)可知ab進(jìn)入圓形軌道時(shí)已達(dá)勻速直線運(yùn)動(dòng)，
設(shè)此時(shí)ab為v，其電動(dòng)勢(shì)為E₂，電流為I₂，
由平衡條件得 mgsinθ=B₂I₂d    ⑦
由法拉第電磁感應(yīng)定律得動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) E₂=B₂dv ⑧
由全電路歐姆定律有   E₂=${I}_{2}•\frac{R}{2}$  ⑨（R₁、R₂并聯(lián)）
聯(lián)立⑥⑦⑧⑨解得 v=$\frac{{B}_{0}^{2}}{{B}_{2}^{2}}$$\sqrt{\frac{gd}{8}}$=$\frac{{B}_{0}^{2}}{{4B}_{2}^{2}}$$\sqrt{2gd}$  ⑩
由題意可知ab滑不過(guò)圓心等高點(diǎn)或者滑過(guò)圓軌道最高點(diǎn)均符合題意，分類討論如下：
（�。┊�(dāng)$\frac{1}{2}m{v}^{2}≤$mg$\fracblxfphl{2}cosθ$  即 B₂≥$\frac{\sqrt{2}}{2}{B}_{0}$時(shí)，
ab上滑過(guò)程由動(dòng)能定理得 mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，即h=$\frac{d{B}_{0}^{4}}{16{B}_{2}^{4}}$
（ⅱ） 設(shè)ab能滑到圓軌道最高點(diǎn)時(shí)速度為v₁，根據(jù)牛頓第二定律應(yīng)滿足 mg≤$\frac{m{v}_{1}^{2}}{\fracrxrjfph{2}}$
所以當(dāng)$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-mg$\fracfvhtnn9{2}$（1+cosθ）≥$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ 即B₂≤$\frac{1}{2}{B}_{0}$時(shí)，
ab能滑到圓軌道最高點(diǎn)，有 h=$\fractjdfztd{2}（1+cosθ）$=$\frac{3d}{4}$．
答：
（1）ab靜止時(shí)通過(guò)它的電流大小為$\frac{d{B}_{0}}{2R}$$\sqrt{2gd}$，ab中電流方向?yàn)閍→b；
（2）ab的質(zhì)量m為$\frac{xptxx7l^{2}{B}_{0}^{2}}{3gR}$$\sqrt{6gd}$；
（3）（ⅰ）當(dāng)B₂≥$\frac{\sqrt{2}}{2}{B}_{0}$時(shí)，h為$\frac{d{B}_{0}^{4}}{16{B}_{2}^{4}}$．（ⅱ） 當(dāng)B₂≤$\frac{1}{2}{B}_{0}$時(shí)，ab能滑到圓軌道最高點(diǎn)，h為$\frac{3d}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)、電路等等知識(shí)的綜合，與力學(xué)聯(lián)系的橋梁是安培力，對(duì)于感生情況，要熟練根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律結(jié)合求感應(yīng)電流．導(dǎo)體在圓軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，要準(zhǔn)確把握最高點(diǎn)的臨界條件，運(yùn)用機(jī)械能守恒與向心力結(jié)合解答．