湖南師大附中08-09學(xué)年度第一學(xué)期期末考試
高 二 數(shù) 學(xué)(選修2-1)
命題人:朱海棠 審題人:吳錦坤
考生注意:本試卷分選擇題、填空題和解答題三部分,共20個(gè)小題,考試時(shí)間120分鐘,
試卷滿分100分.
一.選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把各題答案的代號(hào)填寫(xiě)在答題卷中相應(yīng)的表格內(nèi).
1.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ( D )
A.(3,0) B.(0,3) C. (1,0) D.(0,1)
2.給出下列四個(gè)語(yǔ)句:①兩條異面直線有公共點(diǎn);②你是師大附中的學(xué)生嗎?③x∈{1,2,3,4};④方向相反的兩個(gè)向量是共線向量.其中是命題的語(yǔ)句共有 ( C )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
3.在三棱柱ABC-A1B
A.-a+b+c B. a-b+c C.-a+b-c D. a-b-c
4.“a<
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
5.在空間直角坐標(biāo)系中,已知向量a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),c=(2,1,2),則下列結(jié)論正確的是 ( A )
A. a//b且a⊥c B. a⊥b且a//c C. a//b且a//c D. a⊥b且a⊥c
6.下列命題的否命題為真命題的是 ( C )
A.正方形的四條邊相等 B.正弦函數(shù)是周期函數(shù)
C.若a+b是偶數(shù),則a,b都是偶數(shù) D.若x>0,則|x|=x
7.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線l,交拋物線于A、B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)在直線x=3上,則|AB|= ( B )
A. 6 B.
8.給出下列兩個(gè)命題:命題p:空間任意三個(gè)向量都是共面向量;命題q:若a>0,b>0,則方程表示的曲線一定是橢圓.那么下列命題中為真命題的是 ( D )
A.p∧q B. p∨q C. (?p)∧q D. (?p)∨q
9.如圖,在四面體ABCD中,E、F分別是棱AD、BC的中點(diǎn),
則向量與、的關(guān)系是 ( C )
A. B.
C. D.
10.點(diǎn)F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)B為該雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn),若∠F1BF2=120°,則雙曲線的離心率為 ( A )
A. B. C. D.
二、填空題:本大題共5小題,每小題4分,共20分,把答案填寫(xiě)在答題卷中相應(yīng)題次后的橫線上.
11.命題“若a>2,則a2>
12.拋物線y2+12x=0的準(zhǔn)線方程是 x=3 .
13.設(shè)條件p:0<x<4;條件q:|x-1|<a,若p是q的充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
[3,+∞).
14.如圖,l,m為異面直線,點(diǎn)A,B在直線l上,點(diǎn)C,D在直線m上,
已知AC⊥m,BD⊥m,且AB=2,CD=1,則 1 ;
直線l與m所成的角為 60°.
15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M分別與兩定點(diǎn)A(1,0),B(-1,0)的連線的斜率之積為定值m(m≠0),若點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去點(diǎn)A、B),則m的取值范圍是(-1,0);若點(diǎn)M的軌跡是離心率為2的雙曲線(除去點(diǎn)A、B),則m的值為 3 .
三、解答題:本大題共5小題,共40分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
16.(本小題滿分6分)
已知含有量詞的兩個(gè)命題p和q,其中命題p:任何實(shí)數(shù)的平方都大于零;命題q:二元一次方程2x+y=3有整數(shù)解.
(Ⅰ)用符號(hào)“”與“”分別表示命題p和q;
(Ⅱ)判斷命題“(?p)∧q”的真假,并說(shuō)明理由.
【解】(Ⅰ)命題p:x∈R,x2>0; (1分)
命題q:x0∈Z且y0∈Z,2x0+y0=3. (3分)
(Ⅱ)因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),x2=0,所以命題p為假命題,從而命題?p為真命題. (4分)
因?yàn)楫?dāng)x0=2,y0=-1時(shí),2x0+y0=3,所以命題q為真命題. (5分)
故命題“(?p)∧q”是真命題. (6分)
17.(本小題滿分8分)
在空間直角坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(Ⅰ)求〈〉的大小;
(Ⅱ)設(shè)直線AB與坐標(biāo)平面xOy的交點(diǎn)為D,求C,D兩點(diǎn)間的距離.
【解】(Ⅰ)由已知,得(-2,-1,3),(-1,3,-2). (1分)
則2?3?6=-7. . (2分)
所以cos〈〉=. (3分)
故〈〉=120°. (4分)
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)D(x,y,0),則(x,y-2,-3). (5分)
因?yàn)橄蛄?sub>與共線,設(shè),則(x,y-2,-3)=λ(-2,-1,3). (6分)
于是,所以點(diǎn)D(2,3,0). (7分)
故,即C,D兩點(diǎn)間的距離是. (8分)
18.(本小題滿分8分)
已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn).若橢圓的離心率為,且△PF
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)作直線l,若動(dòng)點(diǎn)M到橢圓右焦點(diǎn)的距離
比它到直線l的距離小4,求點(diǎn)M的軌跡方程.
【解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a,半短軸長(zhǎng)為b,半焦距為c,
則|PF1|+|PF2|=
因?yàn)椤鱌F
又,即a=
因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是. (4分)
(Ⅱ)法一:因?yàn)閍=6,所以直線l的方程為x=-6,又c=2,所以右焦點(diǎn)為F2(2,0). (5分)
過(guò)點(diǎn)M作直線l的垂線,垂足為H,由題設(shè),|MF2|=|MH|-4.
設(shè)點(diǎn)M(x,y),則. (6分)
兩邊平方,得,即y2=8x. (7分)
故點(diǎn)M的軌跡方程是y2=8x. (8分)
法二:因?yàn)閍=6,c=2,所以a-c=4,從而橢圓左焦點(diǎn)F1到直線l的距離為4. (5分)
由題設(shè),動(dòng)點(diǎn)M到橢圓右焦點(diǎn)的距離與它到直線x=-2的距離相等,所以點(diǎn)M的軌跡是以右焦點(diǎn)為F2(2,0)為焦點(diǎn),直線x=-2為準(zhǔn)線的拋物線. (7分)
顯然拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),且p=|F
19.(本小題滿分8分)
如圖,在直三棱柱ABC-A1B
(Ⅰ)求點(diǎn)C1到平面AB
(Ⅱ)求二面角A1-B
【解】(Ⅰ)因?yàn)锳A1⊥平面ABC, AB⊥AC,分別以AB,
AC,AA1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系. (1分)
因?yàn)锳B=AC=AA1=1,則點(diǎn)C(0,1,0),B1(1,0,1),
C1(0,1,1),所以=(1,0,1),=(0,1,0). (2分)
設(shè)=(x,y,z)為平面AB
,即. 取x=1,則=(1,0,-1). (3分)
又=(0,0,-1),故點(diǎn)C1到平面AB
(Ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn)A1(0,0,1),所以=(0,-1,1),=(1,-1,1). (5分)
設(shè)=(x,y,z)為平面A1B
,即.取z=1,則=(0,1,1). (6分)
因?yàn)?sub>=(1,0,-1),則,
所以. (7分)
由圖知,二面角A1-B
20.(本小題滿分10分)
已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,兩漸近線方程為,點(diǎn)A、B在雙曲線上,且關(guān)于直線 x+y+2=0對(duì)稱,|AB|=.
(Ⅰ)求線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo);
(Ⅱ)求這雙曲線的方程;
(Ⅲ)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線l與雙曲線的左、右兩支分別相交于P、Q兩點(diǎn),點(diǎn)M(0,-1)為定點(diǎn),試推斷是否存在直線l,使?若存在,求直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
【解】(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為3x2-y2=λ(λ>0),點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0),則
,即3(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2). (1分)
因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱,所以,即.
又C為AB的中點(diǎn),所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0. 于是有3x0=y(tǒng)0. (2分)
因?yàn)辄c(diǎn)C在直線x+y+2=0上,所以x0+y0+2=0.
于是4 x0+2=0,即,從而,故點(diǎn). (3分)
(Ⅱ)因?yàn)閨AB|=,所以|AC|=,于是,即x1=1. (4分)
又,即,所以. (5分)
因?yàn)辄c(diǎn)A(1,0)在雙曲線上,所以λ=3x12-y12=3.故雙曲線方程是. (6分)
(Ⅲ)設(shè)直線l的方程為y=kx+1,代入雙曲線方程,得,
即 . (7分)
設(shè)點(diǎn)P(x3,y3),Q(x4,y4),則,. (8分)
因?yàn)?sub>,.
所以
. (9分)
因?yàn)镻、Q分別為雙曲線左、右兩支上的點(diǎn),則.
所以.故不存在直線l,使. (10分)
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