1．已知的終邊經(jīng)過點，且 ，則的取值范圍是          _____ ▲       ．

2．如果復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)_____ ▲       ．

3．如圖所示，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個邊長   

為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角,現(xiàn)在向該正方形

區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形內(nèi)概率是___▲   .．

氣溫(⁰C)

18

13

10

-1

用電量(度)

24

34

38

64

4．某單位為了了解用電量y度與氣溫之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：

由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程中，預(yù)測當(dāng)氣溫為時，用電量的度數(shù)約為____▲____.

5．給出一個算法：

   Read    x

   If  

根據(jù)以上算法，可求得 ▲          

6．如圖，點P是單位圓上的一個頂點，它從初始位置開始沿單

  位圓按逆時針方向運動角（）到達點，然后繼續(xù)沿單位圓逆時針方向運動到達點，若點的橫坐標(biāo)為，則的值等于  ▲           

7．一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為          ▲     ．

8．已知平面上不共線的四點O,A,B,C.若，則　▲　　.

9．已知函數(shù)，若直線對任意的都不是曲線的切線，則的取值范圍為  ▲        

10．已知圓和過原點的直線的交點為P、Q，則|OP|?|OQ|的值為    ▲      

11．已知實數(shù)a使得只有一個實數(shù)x滿足關(guān)于x的不等式，則滿足條件的所有的實數(shù)a的個數(shù)是      ▲       ．

12、已知直線所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個焦點,且橢圓上的點到點的最大距離為8.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為   ▲      ；

13．設(shè)A=，B=，記A?B=max，若A=，B=，且A?B=，則的取值范圍為       ▲       .

14.若關(guān)于的不等式至少有一個負數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是__▲___.

15．（本小題14分）在△ABC中，分別為角A、B、C的對邊，，=3, △ABC的面積為6，D為△ABC內(nèi)任一點，點D到三邊距離之和為d.

⑴求角A的正弦值；        ⑵求邊b、c；        ⑶求d的取值范圍

16．（本小題14分）在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積V；

（Ⅱ）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；

17．（本小題15分）某建筑的金屬支架如圖所示，根據(jù)要求至少長2.8m，為的中點，到的距離比的長小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的價格一定，問怎樣設(shè)計 的長，可使建造這個支架的成本最低？

18．（本小題15分）已知圓C的方程為（，橢圓C的方程為,且C 的離心率為，如果C 、C相交于A、B兩點，且線段AB恰好為C 的直徑，求直線AB的方程和橢圓C 的方程.

19．（本小題16分）已知函數(shù)，

（1）已知函數(shù)，如果是增函數(shù)，且的導(dǎo)函數(shù)存在正零點，求的值

（2）設(shè),且在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍.

（3）試求實數(shù)的個數(shù)，使得對于每個，關(guān)于x的方程 都有滿足的偶數(shù)根

20．（本小題16分）已知為實數(shù)，數(shù)列滿足，當(dāng)時，，

（Ⅰ）當(dāng)a=100時,求數(shù)列的前100項的和 S₁₀₀,；(5分)

（Ⅱ）證明：對于數(shù)列，一定存在，使；(5分)

（Ⅲ）令，當(dāng)時，求證：(6分)

江蘇省曲塘中學(xué)08-09年度第二學(xué)期

高三數(shù)學(xué)附加題試卷 09.3

1．（幾何證明選講）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓交AC于D．求證：．

2．（矩陣與變換）設(shè)是把坐標(biāo)平面上的點的橫坐標(biāo)伸長到倍，縱坐標(biāo)伸長到倍的伸壓變換．（Ⅰ）求矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量；

（Ⅱ）求逆矩陣以及橢圓在的作用下的新曲線的方程．

3. （坐標(biāo)系與參數(shù)方程）求直線（）被曲線所截的弦長.

4．（不等式證明選講）若，證明 .

5. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰為的中點，又知.

（I）求證：平面；

（II）求到平面的距離；

（III）求二面角余弦值的大小.

6．某城市有甲、乙、丙、丁4個旅游景點，一位客人游覽這4個景點的概率都是0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響．設(shè)表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值．

（Ⅰ）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(Ⅱ) 記“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率．

答案

1．      2．         3．      4．68        5．0     

6．       7．      8．2　    9．    10．5   11． 2  

12、     13．       14.

15．解：(1)

(2)，20 

由及20與=3解得b=4，c=5或b=5,c= 4

(3)設(shè)D到三邊的距離分別為x、y、z，則 

 又x、y滿足

畫出不等式表示的平面區(qū)域得： 

16． 解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2，AD＝4．

∴S_ABCD＝

．……………… 3分

則V＝．     ……………… 7分

（Ⅱ）∵PA＝CA，F(xiàn)為PC的中點，

∴AF⊥PC．            ………………8分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．

∵E為PD中點，F(xiàn)為PC中點，

∴EF∥CD．則EF⊥PC．       ……… 12分

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．…… 14分

17．解：設(shè)連結(jié)BD.

    則在中，

       設(shè)

    則

等號成立時

         答：當(dāng)時，建造這個支架的成本最低.

18． 解：設(shè)A（）、B（）

A、B在橢圓上 

  又線段AB的中點是圓的圓心（2，1），所以

所以，

橢圓的離心率為＝，＝－1

直線AB的方程為y-1=-1(x-2)即x+y-3=0.

（1）       由（和x+y-3=0得

A（2+，1－）代入橢圓方程得：

所以橢圓方程為：   

19．解：（1）由題意

在上恒成立

即在上恒成立

即 ，所以＜ ，又存在正零點，  

所以  ，即    

（2）由題設(shè)得，……………5分

對稱軸方程為，.……………7分

由于在上單調(diào)遞增，則有

(Ⅰ)當(dāng)即時,有

.……………9分

(Ⅱ)當(dāng)即時，

設(shè)方程的根為，

①     若,則，有

解得；……………11分

②若,即，有；

.……………13分

由①②得 .綜合(Ⅰ)， (Ⅱ)有  ．…14分

⑶對任意，為偶數(shù)，的取值各不同，反證法證明.答案是2009

20．解:（Ⅰ）由題意知數(shù)列的前34項成首項為100,公差為－3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1,從而=  ……(3分)

    =.  …………(5分)

   （Ⅱ）證明：①若,則題意成立…………………(6分)

②若,此時數(shù)列的前若干項滿足,即.

設(shè),則當(dāng)時,.

從而此時命題成立…… (8分)

③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時命題也成立.

綜上所述,原命題成立……………(10分)

（Ⅲ）當(dāng)時，因為,

    所以=……………(11分)

因為>0,所以只要證明當(dāng)時不等式成立即可.

而

………(13分)

①當(dāng)時,

……(15分)

②當(dāng)時,由于>0,所以<

綜上所述,原不等式成立………(16分)

附加題

2．解：（Ⅰ）由條件得矩陣，

它的特征值為和，對應(yīng)的特征向量為及；

（Ⅱ），橢圓在的作用下的新曲線的方程為．

3．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）求直線（）被曲線所截的弦長，將方程，分別化為普通方程：

，………(5分)

……(10分)

4．（不等式證明選講）若，證明 .

柯西不等式一步可得

5. 解：（I）如圖，取的中點，則，因為，

    所以，又平面，

    以為軸建立空間坐標(biāo)系，

    則，，，，，

，，

，由，知，又，從而平面；

    （II）由，得.

    設(shè)平面的法向量為，，，所以

，設(shè)，則

    所以點到平面的距離.

    （III）再設(shè)平面的法向量為，，，

    所以

，設(shè)，則，

    故，根據(jù)法向量的方向，

    可知二面角的余弦值大小為

6． 解：（1）分別設(shè)“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”、“客人游覽丙景點” 、“客人游覽丁景點”為事件,由已知相互獨立，且

客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4;相應(yīng)的，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為4，3，2，1,0.所以的可能取值為0，2,4

0

2

4

P

0.3456

0.4992

0．1552

所以的分布列為

………………(5分)

（2）因為所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．要使在上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)即

從而…………………(10分)