復(fù)雜線段比例式和等積式證明舉例
王仁宏
義務(wù)教育初中幾何第二冊(cè)對(duì)簡(jiǎn)單的線段比例式和等積式做了一些簡(jiǎn)單介紹。但同學(xué)們解題中還會(huì)遇到一些復(fù)雜的線段比例式和等積式的證明。
例如
等,證明這些等式的思想是將它們轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的比例式和等積式加以證明,下面舉例說(shuō)明這種證題思路。
一. 型等式的證明
例1. 如圖1所示,在△ABC中,∠A的平分線交BC于P,∠A的外角平分線交BC延長(zhǎng)線于Q,O是PQ之中點(diǎn)。
圖1
求證:
證明:因?yàn)锳P平分
又因?yàn)镺是斜邊PQ之中點(diǎn),連AO,得OA=OP。因?yàn)?/p>
例2. 如圖2所示,已知△ABC中,DF⊥BC于F。
求證:
圖2
證明:
二. 型等式的證明
例3. 如圖3所示,已知一直線截△ABC的邊AB,AC和BC的延長(zhǎng)線于F、E、D。
求證:
圖3
證明:過(guò)點(diǎn)C作CG//FD,交AB于G。
三. 型等式的證明
例4. 如圖4所示,已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),過(guò)O作EF、QP、GH分別平行于BC、CA、AB。
求證:
圖4
分析:求證的是三個(gè)比的和為1,只要求得與這三個(gè)比的分母是同一條線段,并且分子線段的和等于分母線段即可。
證明:在中,
在△ABC和△GOF中,
四. 型等式的證明
例5. 如圖5所示,在銳角△ABC中,高線BE與CF相交于H,
求證:。
圖5
分析:求證式中的右端有線段的積,這使我們聯(lián)想到如能創(chuàng)造出相似三角形,則會(huì)有對(duì)應(yīng)線段成比例,就會(huì)出現(xiàn)線段的乘積式,為此添輔助線于D,則出現(xiàn)相似三角形,而求證式中的右端均為相似三角形的邊,故可從相似三角形開(kāi)始證明。
證明:過(guò)H作交BC于D。
則
即 (1)
四邊形轉(zhuǎn)化為三角形解題三例
徐若翰
例1. 某片綠地的形狀如圖1所示,其中,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的長(zhǎng)。
圖1
分析:延長(zhǎng)AD、BC交于E點(diǎn),
則
由此可見(jiàn),延長(zhǎng)一組對(duì)邊,就把原四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)含有特殊角的直角三角形。
例2. 如圖2是一塊四邊形的薄鋼板,AB=AD。(1)能否先沿一條對(duì)角線將鋼板切割成兩塊,再焊接成一塊與原鋼板面積相同的三角形鋼板?若能,請(qǐng)說(shuō)明切割、焊接的方法,用虛線畫出示意圖,并說(shuō)明焊接的鋼板是什么三角形;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由。(2)若BC=1m,CD=3m,求這塊鋼板的面積。
圖2
分析:(1)由已知,
得
沿對(duì)角線AC切割后,把放在AB兩側(cè),使AD與AB重合,點(diǎn)C落到點(diǎn),再重新焊接。這時(shí),
所以,把繞著A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到,就使原四邊形轉(zhuǎn)化為,
其中,且有:
(2)
于是可以求得,也就是鋼板面積。
例3. 如圖3,在四邊形ABCD中,
,試求四邊形ABCD的面積S。
圖3
分析:延長(zhǎng)BA、CD交于E點(diǎn),作中,
又可證得F為AE中點(diǎn),
含“…”的有理數(shù)加法
譚詠梅 楊春雪
含省略號(hào)的有理數(shù)加法,常用的方法和技巧有如下幾種。
一、“順寫”加“倒寫”
例1. 計(jì)算 解:設(shè)
再把S倒過(guò)來(lái)寫:
相加得:
二、正負(fù)結(jié)合
例2. 計(jì)算
解:原式
三、裂項(xiàng)相加
例3. 計(jì)算
解:注意到
∴原式
四、加倍相減
例4. 計(jì)算 解:令原式
去掉“如圖”,變化多
韓曉宏
一個(gè)幾何問(wèn)題,如果給出了圖形,那么除了直觀這一功能之外,還可能限制人們更廣泛的自由思考。下面就是一例:
如圖1,⊙和⊙都經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線CD與⊙交于C,與⊙交于點(diǎn)D。經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線EF與⊙交于點(diǎn)E,與⊙交于點(diǎn)F。
求證:CE∥DF
(初三《幾何》第83頁(yè))
證明:連結(jié)AB
因?yàn)?ABEC是⊙的內(nèi)接四邊形
所以 ∠BAD=∠E
又 ADFB是⊙的內(nèi)接四邊形
所以 ∠BAD+∠F=180°
所以 ∠E+∠F=180°
故 CE∥DF
這個(gè)題并不難,但是,若去掉“如圖”二字,然后依據(jù)題意畫圖,便可發(fā)現(xiàn)滿足要求的圖形還不少:
(1)公共弦兩邊各有兩點(diǎn)(三種,第一種如圖1,與課本圖相同)。
(2)公共弦兩邊分別有一個(gè)點(diǎn)和三個(gè)點(diǎn)(兩種)。
(3)四個(gè)點(diǎn)全在公共弦的同一側(cè)(兩種)。
不管是哪一種情況,都可以通過(guò)連結(jié)AB,這條輔助線做出(當(dāng)然也有其它方法),用到的其它知識(shí)點(diǎn)也與圖1中的大同小異。但要構(gòu)造出這些圖形,尤其是通過(guò)分類來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題,無(wú)疑可以訓(xùn)練思維;而且在這個(gè)過(guò)程中體會(huì)一下包含的數(shù)學(xué)思想也十分重要。事實(shí)上,不少數(shù)學(xué)題目都可以用類似的方法進(jìn)行更深一步的研究。尤其是一些幾何題,自由地變一下圖形,自由地?fù)Q一下條件,都可以得到一些新的東西,這也是培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)研究數(shù)學(xué),深入探究的一個(gè)好方法。
列代數(shù)式五點(diǎn)注意
張?zhí)?/p>
人教版教材初一代數(shù)把像5、a、4a、ab、a+b、、a2這樣的式子稱之為是代數(shù)式。列代數(shù)式就是將文字?jǐn)⑹龅恼Z(yǔ)言表達(dá)成數(shù)量或數(shù)量關(guān)系,用數(shù)學(xué)式子表示出來(lái),列出代數(shù)式后廣泛應(yīng)用。這里我來(lái)談?wù)劻写鷶?shù)式時(shí)五點(diǎn)應(yīng)注意的地方。
一. 仔細(xì)辨別詞義
列代數(shù)式時(shí),要先認(rèn)真審題,抓住關(guān)鍵詞語(yǔ),仔細(xì)辯析詞義。如“除”與“除以”,“平方的差(或平方差)”與“差的平方”的詞義區(qū)分。例:“3除a”,“被3除得a”,“a與b兩數(shù)的平方差”,“a與b兩數(shù)差的平方”,分別為“”、“ 3a”、a2-b2、(a-b)2。
二. 分清數(shù)量關(guān)系
要正確列代數(shù)式,只有分清數(shù)量之間的關(guān)系。如比m大3的數(shù)應(yīng)為m+3;比一個(gè)數(shù)大3的數(shù)是m,則這個(gè)數(shù)為m-3;一個(gè)數(shù)是a的3位,這個(gè)數(shù)為3a;a是這個(gè)數(shù)的3倍,這個(gè)數(shù)為。不要見(jiàn)多就加,見(jiàn)小就減,見(jiàn)倍就乘。
三. 注意運(yùn)算順序
列代數(shù)式時(shí),一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中,先讀的先寫,如a的2倍與b的3倍的差,為2a-3b,不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言,且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算,要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來(lái),如a與b的差的3倍,為3(a-b)。
四. 規(guī)范書寫格式
列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫。像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫,數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào);除法可寫成分?jǐn)?shù)形式,帶 分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù),書寫單位名稱什么時(shí)不加括號(hào),什么時(shí)要加括號(hào)。注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用。
五. 正確進(jìn)行代換
列代數(shù)式時(shí),有時(shí)需將題中的字母代入公式,這就要求正確進(jìn)行代換。如圖,寫出圖中陰影部分面積的代數(shù)式為ab-(a-2x)(b-2x)。其中a與b分別表示長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬,(a-2x)與(b-2x)分別表示小空白長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。▲
分類討論在相似形中的應(yīng)用
馬健
在我們的幾何題目中,有許多問(wèn)題需要分類討論,常因不會(huì)分類、分類不確切或討論不全面發(fā)生漏解。只有全面掌握基礎(chǔ)知識(shí)和經(jīng)過(guò)嚴(yán)密思考,找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn),才能使得出的結(jié)論不重復(fù)、不遺漏。下面就相似形中的幾個(gè)問(wèn)題加以說(shuō)明。
例1. 已知兩數(shù)4和8,試寫出第三個(gè)數(shù),使這三個(gè)數(shù)中,其中一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng),則第三個(gè)數(shù)為_(kāi)____________。
析:這是一道開(kāi)放性題目,它需分幾種情況討論。不妨設(shè)第三個(gè)數(shù)為x,
由可得;
由得;
由可得。
故第三個(gè)數(shù)為2,或16,或。
例2. 若,求x的值。
析:利用合比性質(zhì),當(dāng),此時(shí)
又當(dāng)時(shí),可得出
此時(shí)
故x的值為,或。
例3. 要做兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形框架的三邊長(zhǎng)分別為4、5、6,另一個(gè)三角形框架的一邊長(zhǎng)為2,怎樣選料,可使這兩個(gè)三角形相似。
析:本題中長(zhǎng)為2的邊長(zhǎng)可以分別與長(zhǎng)為4、5、6的邊對(duì)應(yīng)。
設(shè)另兩邊分別為x、y。于是得出:
得:;
得:;
得:。
所以框架另兩邊長(zhǎng)可選,或,或。
例4. 如圖1,,點(diǎn)M在AB上且,點(diǎn)N在AC上,聯(lián)結(jié)MN,使△AMN與原三角形相似,則AN=___________。
析:當(dāng)MN∥BC時(shí),△AMN∽△ABC,可得:
,即
故
當(dāng)MN不平行于BC時(shí),∠AMN=∠C時(shí),△AMN∽△ACB,可得:
,即,得
故AN長(zhǎng)為2,或
例5. 若正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的三條邊上,直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm,則此正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)___________。
析:這是一道操作、設(shè)計(jì)型開(kāi)放題,可分兩種情況:(1)是正方形一角為直角三角形的直角時(shí),如圖2,由相似可得出:;(2)是兩個(gè)頂點(diǎn)在斜邊上,如圖3,由相似可得出:。所以此正方形的邊長(zhǎng)為,或。
例談求一次函數(shù)解析式的常見(jiàn)題型
時(shí)勇
一次函數(shù)及其圖像是初中代數(shù)的重要內(nèi)容,也是高中解析幾何的基石,更是中考的重點(diǎn)考查內(nèi)容。其中求一次函數(shù)解析式就是一類常見(jiàn)題型,F(xiàn)以部分中考題為例介紹幾種求一次函數(shù)解析式的常見(jiàn)題型。希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。
一. 定義型
例1. 已知函數(shù)是一次函數(shù),求其解析式。
解:由一次函數(shù)定義知
,故一次函數(shù)的解析式為
注意:利用定義求一次函數(shù)解析式時(shí),要保證。如本例中應(yīng)保證
二. 點(diǎn)斜型
例2. 已知一次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,-1),求這個(gè)函數(shù)的解析式。
解:一次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(2,-1)
,即
故這個(gè)一次函數(shù)的解析式為
變式問(wèn)法:已知一次函數(shù),當(dāng)時(shí),y=-1,求這個(gè)函數(shù)的解析式。
三. 兩點(diǎn)型
已知某個(gè)一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2,0)、(0,4),則這個(gè)函數(shù)的解析式為_(kāi)____________。
解:設(shè)一次函數(shù)解析式為
由題意得
故這個(gè)一次函數(shù)的解析式為
四. 圖像型
例4. 已知某個(gè)一次函數(shù)的圖像如圖所示,則該函數(shù)的解析式為_(kāi)_________。
解:設(shè)一次函數(shù)解析式為
由圖可知一次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(1,0)、(0,2)
有
故這個(gè)一次函數(shù)的解析式為
五. 斜截型
例5. 已知直線與直線平行,且在y軸上的截距為2,則直線的解析式為_(kāi)__________。
解析:兩條直線:;:。當(dāng),時(shí),
直線與直線平行,。
又直線在y軸上的截距為2,
故直線的解析式為
六. 平移型
例6. 把直線向下平移2個(gè)單位得到的圖像解析式為_(kāi)__________。
解析:設(shè)函數(shù)解析式為,直線向下平移2個(gè)單位得到的直線與直線平行
直線在y軸上的截距為,故圖像解析式為
七. 實(shí)際應(yīng)用型
例7. 某油箱中存油20升,油從管道中勻速流出,流速為0.2升/分鐘,則油箱中剩油量Q(升)與流出時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)__________。
解:由題意得,即
故所求函數(shù)的解析式為()
注意:求實(shí)際應(yīng)用型問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式要寫出自變量的取值范圍。
八. 面積型
例8. 已知直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積等于4,則直線解析式為_(kāi)_________。
解:易求得直線與x軸交點(diǎn)為(,0),所以,所以,即
故直線解析式為或
九. 對(duì)稱型
若直線與直線關(guān)于
(1)x軸對(duì)稱,則直線l的解析式為
(2)y軸對(duì)稱,則直線l的解析式為
(3)直線y=x對(duì)稱,則直線l的解析式為
(4)直線對(duì)稱,則直線l的解析式為
(5)原點(diǎn)對(duì)稱,則直線l的解析式為
例9. 若直線l與直線關(guān)于y軸對(duì)稱,則直線l的解析式為_(kāi)___________。
解:由(2)得直線l的解析式為
十. 開(kāi)放型
例10. 已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)A(1,4),B(2,2)兩點(diǎn),請(qǐng)寫出滿足上述條件的兩個(gè)不同的函數(shù)解析式,并簡(jiǎn)要說(shuō)明解答過(guò)程。
解:(1)若經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的函數(shù)圖像是直線,由兩點(diǎn)式易得
(2)由于A、B兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的積都等于4,所以經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的函數(shù)圖像還可以是雙曲線,解析式為
(3)其它(略)
十一. 幾何型
例11. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B是x軸上的兩點(diǎn),,,以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC于E、F兩點(diǎn),若C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3)。(1)求圖像過(guò)A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式,并求其對(duì)稱軸;(2)求圖像過(guò)點(diǎn)E、F的一次函數(shù)的解析式。
解:(1)由直角三角形的知識(shí)易得點(diǎn)A(,0)、B(,0),由待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式為,對(duì)稱軸是
(2)連結(jié)OE、OF,則、。過(guò)E、F分別作x、y軸的垂線,垂足為M、N、P、G,易求得E(,)、F(,)由待定系數(shù)法可求得一次函數(shù)解析式為
十二. 方程型
例12. 若方程的兩根分別為,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(,)和Q(,)的一次函數(shù)圖像的解析式
解:由根與系數(shù)的關(guān)系得,
,
點(diǎn)P(11,3)、Q(-11,11)
設(shè)過(guò)點(diǎn)P、Q的一次函數(shù)的解析式為
則有
解得
故這個(gè)一次函數(shù)的解析式為
十三. 綜合型
例13. 已知拋物線的頂點(diǎn)D在雙曲線上,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)C(a、b)且使y隨x的增大而減小,a、b滿足方程組,求這條直線的解析式。
解:由拋物線的頂點(diǎn)D()在雙曲線上,可求得拋物線的解析式為:
,頂點(diǎn)D1(1,-5)及
頂點(diǎn)D2(,-15)
解方程組得,
即C1(-1,-4),C2(2,-1)
由題意知C點(diǎn)就是C1(-1,-4),所以過(guò)C1、D1的直線是;過(guò)C1、D2的直線是
例析二次根式加減法“三步曲”
王云峰 楊毅
二次根式相加減,先把每個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式,再把同類二次根式分別進(jìn)行合并,即“先化簡(jiǎn)――再判斷――最后合并”,這就是解答二次根式加減問(wèn)題的三步曲。舉例說(shuō)明如下:
例1. 計(jì)算:
分析:題中每個(gè)二次根式都是最簡(jiǎn)二次根式,可直接判斷同類二次根式再分別合并。
解:原式
說(shuō)明:二次根式不管是否為同類二次根式都可以相乘除,但只有同類二次根式才能相加減,即二次根式加減法的前提條件是具備同類二次根式,本題中不是同類二次根式,不能再進(jìn)行加減運(yùn)算。
例2. 計(jì)算:
分析:題中每個(gè)二次根式都不是最簡(jiǎn)二次根式,應(yīng)按“先化簡(jiǎn)――再判斷――最后合并”三步曲進(jìn)行計(jì)算。
解:原式
說(shuō)明:二次根式前面的系數(shù)要寫成假分?jǐn)?shù)的形式,不能寫成帶分?jǐn)?shù)。本題中的系數(shù)不能寫成,的系數(shù)不能寫成。
例3. 計(jì)算:
分析:二次根式加減運(yùn)算中如果有括號(hào)要先去括號(hào),再按三步曲進(jìn)行計(jì)算。
解:原式
說(shuō)明:合并同類二次根式時(shí),不可忽視系數(shù)為1或的二次根式。本題中的系數(shù)不是0,而是。另外,當(dāng)括號(hào)前是“-”,去掉括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要改變符號(hào)。
例4. 計(jì)算:
分析:二次根式內(nèi)有分式加減運(yùn)算,要先將根號(hào)內(nèi)分式計(jì)算出最后結(jié)果,再按三步曲進(jìn)行解答。
解:原式
說(shuō)明:根號(hào)內(nèi)有分式加減運(yùn)算時(shí),如本題中的,不能錯(cuò)誤地化簡(jiǎn)成,正確的做法是在根號(hào)內(nèi)將分式通分求出結(jié)果,再進(jìn)行二次根式的加減。
從最簡(jiǎn)情形出發(fā)
周奕生
當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜,感到困難,不易下手時(shí),就可以適當(dāng)?shù)亍巴恕,甚至可“退”到最?jiǎn)單的情形,然后由此出發(fā)去分析,可能會(huì)巧妙地突破,請(qǐng)看
例1 甲乙兩人輪流在圓形桌面上玩擺硬幣游戲,規(guī)定硬幣大小相同,不能重疊,誰(shuí)擺下最后一枚誰(shuí)獲勝。你知道獲勝的策略嗎?
分析:一個(gè)大大的圓桌究竟可以容下多少枚小小的硬幣呢?這是多數(shù)解答者面臨的困境之一。但如果告訴你圓形的桌面很小,小到和硬幣一樣小,或者告訴你硬幣很大,大到和圓形桌面一樣大,這時(shí)應(yīng)該說(shuō)連三歲的小孩都知道先擺的人獲勝。事實(shí)上也是如此。不論桌面和硬幣的大小如何,先擺者只要將第一枚放在正中央,接下來(lái)只要后擺者能擺下一枚,先擺者也總可以擺下一枚,這是由于圓是中心對(duì)稱圖形,對(duì)于每確定的一個(gè)點(diǎn),總存在一個(gè)關(guān)于圓心對(duì)稱的點(diǎn)。因此,先擺者獲勝。
象上述這種思考問(wèn)題的方法我們稱為簡(jiǎn)約思維法,簡(jiǎn)約思維法實(shí)際上就是將繁雜問(wèn)題的背景簡(jiǎn)單化,將一般問(wèn)題特殊化。再看以下幾例。
例2 某錄像廳原門票一張6元,降價(jià)后平均每場(chǎng)的觀眾可以增加3倍,收入增加了2倍,問(wèn)每張門票降價(jià)多少元?
分析 按一般的思路求解的方法大多是:設(shè)門票降價(jià)x元,原有觀眾a人,則原收入6a元,降價(jià)后收入4a(6-x)元,依題意,得
4a(6-x)=18a,解得x=1.5
因此,降價(jià)1.5元。
現(xiàn)在我們問(wèn)題的背景簡(jiǎn)化為:原來(lái)的觀眾只有一人,則原收入6元,降價(jià)后觀眾有4人,收入18元,因此,降價(jià)后的門票價(jià)格是每張4.5元,降價(jià)了1.5元。
例3 四只螞蟻分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)沿正方形的邊爬行,如果它們的速度相同,那么這四只螞蟻不相撞的概率是多少?
分析:許多人的解法是:將每只螞蟻可能爬行的方向(順時(shí)針和逆時(shí)針)一一羅列出來(lái),然后確定不相撞的情形(都按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蚺佬校┣蠼。而事?shí)上,我們可以先確定第一只螞蟻爬行的方向,為了不相撞,其余三只螞蟻爬行的方向必須與第一只相同,而每只螞蟻爬行方向與第一只相同的概率都是,因此,三只螞蟻爬行與第一只都相同的概率是,這就是四只螞蟻不相撞的概率。
例4 某船拖一橡皮筏沿江逆流而上,在A處由于繩子斷開(kāi),橡皮筏順流漂走了10分鐘后船上的人才知道,立即掉頭追趕。假設(shè)船掉頭的時(shí)間忽略不計(jì),問(wèn)需要多少分鐘才能追上?
分析:許多解題者一見(jiàn)到這個(gè)題目都認(rèn)為題設(shè)條件似乎不足,一旦確定題目無(wú)誤后采用的解法大多是運(yùn)用“設(shè)而不求”法,即設(shè)船在靜水中的速度為a,水流的速度為b等等。而事實(shí)上題目并沒(méi)有告訴我們水流速度如何如何,我們完全可以假定水是靜止的,這樣問(wèn)題豈不是很簡(jiǎn)單了嗎?
在水為靜止的前提下,繩子斷開(kāi)后橡皮筏也是靜止的,始終呆在A處,船是在靜水中行駛,往返的速度相同,行駛的距離也是相同的,因此,船離開(kāi)A處和返回到A處的時(shí)間相同,也是10分鐘,故船需要10分鐘才能追上橡皮筏。
兩圓外切的性質(zhì)與應(yīng)用
孫建洪
兩圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種關(guān)系,當(dāng)相切的兩個(gè)圓,除了切點(diǎn)外,每個(gè)圓上的點(diǎn)都各在另一個(gè)圓的外部時(shí),我們稱這兩個(gè)圓外切。而且外切關(guān)系是兩圓位置關(guān)系中比較重要的一種關(guān)系,它具有的性質(zhì)較多。
4 性質(zhì)(1) 外切兩圓的連心線必經(jīng)過(guò)它們的切點(diǎn),且兩個(gè)圓心之間的距離d(圓心距)
等于兩個(gè)圓的半徑之和,即d=R+r
兩圓外切,其中任一個(gè)圓的過(guò)兩圓切點(diǎn)的切線,也必是另一個(gè)圓的切線,也就是說(shuō),
兩個(gè)圓心及切點(diǎn)這三點(diǎn)共線。
例1 若兩圓半徑分別為R,r(R>r),其圓心距為d,且 ,則兩圓的位置關(guān)系是__________.
解:因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/3d295a3d85e54ce0b50d6e6bd9a79fec.zip/66806/兩圓外切的性質(zhì)與應(yīng)用%20專題指導(dǎo).files/image004.gif" >
所以
所以
所以d=R+r(R+r=-d不合題意).
因此兩圓的位置關(guān)系是外切.
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