0  1448  1456  1462  1466  1472  1474  1478  1484  1486  1492  1498  1502  1504  1508  1514  1516  1522  1526  1528  1532  1534  1538  1540  1542  1543  1544  1546  1547  1548  1550  1552  1556  1558  1562  1564  1568  1574  1576  1582  1586  1588  1592  1598  1604  1606  1612  1616  1618  1624  1628  1634  1642  447090 

18.(本小題滿分10分)已知數(shù)列{an}、{bn},其中an=1+3+5+…+(2n+1),bn=2n+4(n≥5),試問(wèn)是否存在這樣的自然數(shù)n,使得an≤bn成立?

分析 對(duì)n賦值后,比較幾對(duì)an與bn的大小,可作出合理猜測(cè),再用數(shù)學(xué)歸納法予以證明.

解 an=1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2,

當(dāng)n=5時(shí),a5=36,b5=25+4=36,此時(shí)a5=b5;

當(dāng)n=6時(shí), a6=49,b6=26+4=68,此時(shí)a6<b6;

當(dāng)n=7時(shí),a7=64,b7=27+4=132,此時(shí)a7<b7;

當(dāng)n=8時(shí),a8=81,b8=28+4=260,此時(shí)a8<b8.

猜想:當(dāng)n≥6時(shí),有an<bn.         3分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上述猜想.

①當(dāng)n=6時(shí),顯然不等式成立,∴n=6時(shí),不等式an<bn成立;

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥6)時(shí),不等式成立,即ak<bk,也即(k+1)2<2k+4;當(dāng)n=k+1時(shí),bk+1=2k+1+4=2(2k+4)-4>2(k+1)2-4=2k2+4k-2,

而(2k2+4k-2)-(k+2)2=k2-6>0(∵k≥6,∴k2>6),

即2k2+4k-2>(k+2)2=[(k+1)+1]2.

由不等式的傳遞性,知bk+1>[(k+1)+1]2=ak+1.

∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.    8分

由①②可知,對(duì)一切n∈N,且n≥6,都有an<bn.

綜上所述,可知只有當(dāng)n=5時(shí),an=bn;當(dāng)n≥6時(shí),an<bn.因此存在使an≤bn成立的自然數(shù)n.

10分

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an=100.故隨著時(shí)間的推移,去健身房的人數(shù)穩(wěn)定在100人左右.              8分

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∴an-100=(an-1-100).于是an-100=(a1-100)?()n-1,即an=100+()n-1?(a1-100).  6分

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即an=an-1+30.                  4分

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∴an=an-1+bn-1=an-1+(150-an-1)=an-1+30,

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17.(本小題滿分8分)某校有教職工150人,為了豐富教工的課余生活,每天定時(shí)開(kāi)放健身房和娛樂(lè)室.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì),每次去健身房的人有10%下次去娛樂(lè)室,則在娛樂(lè)室的人有20%下次去健身房.請(qǐng)問(wèn),隨著時(shí)間的推移,去健身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)定?

分析 本題考查用數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)及數(shù)列的極限.

解 設(shè)第n次去健身房的人數(shù)為an,去娛樂(lè)室的人數(shù)為bn,則an+bn=150,              2分

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=     8分

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=4?-17n=2n2-15n.    6分

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∴f(x)=4x-17.       4分

∴f(1)+f(2)+…+f(n)

=(4×1-17)+(4×2-17)+…+(4×n-17)

=4×(1+2+…+n)-17n

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同步練習(xí)冊(cè)答案