1、1. 已知集合若，則實數(shù)m的值為　　　　 .

5．變?yōu)橹骶�、抓好訓練

變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式表達形式的變換等比比皆是，在訓練中，強化變意識是關(guān)鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中習題進行歸類，并進行分析比較，尋找解題規(guī)律。

針對高考中題目看，還要強化變角訓練，經(jīng)常注意收集角間關(guān)系的觀察分析方法.另外如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個三角函數(shù)關(guān)系式的訓練也要加強，這也是高考的重點.同時應掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的題目.

4．加強三角函數(shù)應用意識的訓練

1999年高考理科第20題實質(zhì)是一個三角問題，由于考生對三角函數(shù)的概念認識膚淺，不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系，造成思維障礙，思路受阻.實際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實踐，是客觀實際的抽象，同時又廣泛地應用于客觀實際，故應培養(yǎng)實踐第一的觀點.總之，三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方法。

3．解答三角高考題的策略。

(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。

(2)尋找聯(lián)系：運用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。

(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當?shù)墓�式，促使差異的轉(zhuǎn)化.

2．證明三角等式的思路和方法。

(1)思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。

(2)證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。

從近年高考的考查方向來看，這部分常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時也以大題的形式出現(xiàn)，分值約占5%.因此能否掌握好本重點內(nèi)容，在一定的程度上制約著在高考中成功與否。

1．兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學習時應注意以下幾點：

(1)不僅對公式的正用逆用要熟悉，而且對公式的變形應用也要熟悉；

(2)善于拆角、拼角

如，等；

(3)注意倍角的相對性

(4)要時時注意角的范圍

(5)化簡要求

熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。

題型1：兩角和與差的三角函數(shù)

例1．已知，求cos。

分析：因為既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。

解法一：由已知sin+sin=1…………①，

cos+cos=0…………②，

①²+②²得 2+2cos；

∴ cos。

①²－②²得　 cos2+cos2+2cos()=－1，

即2cos()()=－1。

∴。

解法二：由①得…………③

由②得…………④

④÷③得

點評：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數(shù)有四個，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系.本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化，“整體對應”巧應用。

例2．已知

求.

分析：由韋達定理可得到進而可以求出的值，再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值.

解法一：由韋達定理得tan，

所以tan

解法二：由韋達定理得tan，

所以tan

，

。

點評：(1)本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于熟練地掌握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而尋找解答本題的知識“最近發(fā)展區(qū)”。(2)運用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等.抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應的公式，從而找到解題的切入點。(3)對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如

題型2：二倍角公式

例3．化簡下列各式：

(1)，

(2)。

　 分析：(1)若注意到化簡式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；(2)由于分子是一個平方差，分母中的角，若注意到這兩大特征，，不難得到解題的切入點.

解析：(1)因為，

又因，

所以，原式=。

(2)原式=

　　 =。

點評：(1)在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，同時還要注意三個角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。(2)化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。(3)公式變形，。

例4．若。

分析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。

解法一：由，

解法二：，

點評：此題若將的左邊展開成再求cosx，sinx的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2·運用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡.所以在解答有條件限制的求值問題時，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，

如，

，

等。

題型3：輔助角公式

例5．已知正實數(shù)a,b滿足。

分析：從方程 的觀點考慮，如果給等式左邊的分子、分母同時除以a，則已知等式可化為關(guān)于程，從而可求出由，若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結(jié)構(gòu)，可考慮引入輔助角求解.

解法一：由題設(shè)得

解法二：

解法三：

點評：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過模式聯(lián)想，引入輔助角，技巧性較強，但輔助角公式，，或

在歷年高考中使用頻率是相當高的，應加以關(guān)注；解法三利用了換元法，但實質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點，所以解法三最佳。

例6．(2009江蘇卷)函數(shù)(為常數(shù)，)在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，則=　　　 .

答案　 3

解析　 考查三角函數(shù)的周期知識

　，，所以，

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力。

(2009北京文)(本小題共12分)已知函數(shù).

(Ⅰ)求的最小正周期；

(Ⅱ)求在區(qū)間上的最大值和最小值.

解析 本題主要考查特殊角三角函數(shù)值、誘導公式、二倍角的正弦、三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基礎(chǔ)知識，主要考查基本運算能力．

解(Ⅰ)∵，

∴函數(shù)的最小正周期為.

(Ⅱ)由，∴，

∴在區(qū)間上的最大值為1，最小值為.

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進行恒等變形的技能及運算能力。

題型4：三角函數(shù)式化簡

例7．求sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°的值.

解析：原式＝(1－cos40°)+(1+cos100°)+(sin70°－sin30°)

＝1+(cos100°－cos40°)+sin70°－

＝－sin70°sin30°+sin70°

＝－sin70°+sin70°＝。

點評：本題考查三角恒等式和運算能力。

例8．已知函數(shù).

(Ⅰ)求的定義域；

(Ⅱ)設(shè)的第四象限的角，且，求的值.

解析：(Ⅰ)由 得，

故在定義域為 (Ⅱ)因為，且是第四象限的角,

　 所以

 故

　　　 。

題型5：三角函數(shù)求值

例9．設(shè)函數(shù)f(x)=cos²cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個高點的橫坐標為。

(Ⅰ)求ω的值；

(Ⅱ)如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值。

解析：(I)

依題意得 ．

(II)由(I)知，。

又當時，，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故

例10．求函數(shù)＝2+的值域和最小正周期.

解析：y=cos(x+) cos(x－)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)，

∴函數(shù)y=cos(x+) cos(x－)+sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。

題型6：三角函數(shù)綜合問題

例11．(2009江蘇卷) 設(shè)向量

(1)若與垂直，求的值；　　

(2)求的最大值;

(3)若，求證：∥.　　　

[解析] 本小題主要考查向量的基本概念，同時考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運算和證明得基本能力。滿分14分.

_。

點評：本題主要考察以下知識點：1、向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0；2，特殊角的三角函數(shù)值；3、三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性；4.已知向量的坐標表示求模，難度中等，計算量不大。

例12．設(shè)0<θ<，曲線x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ－y²sinθ=1有4個不同的交點。

(1)求θ的取值范圍；

(2)證明這4個交點共圓，并求圓半徑的取值范圍.

解析：(1)解方程組，得；

故兩條已知曲線有四個不同的交點的充要條件為，(0<θ<)0<θ<。

(2)設(shè)四個交點的坐標為(x_i，y_i)(i=1，2，3，4)，則：x_i²+y_i²=2cosθ∈(，2)(i=1，2，3，4)。

故四個交點共圓，并且這個圓的半徑r=cosθ∈().

(2009上海卷文)(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 .

　　 已知ΔABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量，

　， .

(1)　　　　　　　　　 若//，求證：ΔABC為等腰三角形；　　

(2)　　　　　　　　　 若⊥，邊長c = 2，角C = ，求ΔABC的面積 .

證明：(1)

即，其中R是三角形ABC外接圓半徑，　　　

為等腰三角形

解(2)由題意可知

由余弦定理可知， 　　　　　　　

點評：本題注重考查應用解方程組法處理曲線交點問題，這也是曲線與方程的基本方法，同時本題也突出了對三角不等關(guān)系的考查。

題型7：三角函數(shù)的應用

例13．有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個扇形中切割下一個內(nèi)接矩形，即矩形的各個頂點都在扇形的半徑或弧上，求這個內(nèi)接矩形的最大面積．

分析：本題入手要解決好兩個問題，

(1)內(nèi)接矩形的放置有兩種情況，如圖2-19所示，應該分別予以處理；

(2)求最大值問題這里應構(gòu)造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達矩形面積的自變量.

解析：如圖2-19(1)設(shè)∠FOA=θ，則FG＝Rsinθ，

，

。

又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么

又∵0°＜θ＜60°，故當cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′時，

如圖2-19 (2)，設(shè)∠FOA＝θ，則EF＝2Rsin(30°－θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°

設(shè)矩形的面積為S．

那么S＝EFFG＝4R²sinθsin(30°-θ)

＝2R²［cos(2θ－30°)－cos30°]

又∵0＜θ＜30°，故當cos(2θ－30°)＝1

。

5．三角等式的證明

(1)三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；

(2)三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。

4．三角函數(shù)的求值類型有三類

(1)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；

(2)給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；

(3)給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角.

3．三角函數(shù)式的化簡

常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。(2)化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).

(1)降冪公式

；；。

(2)輔助角公式

，

。