5．一次、二次不等式組成的不等式組仍要借助于數(shù)軸.

4．注意必要的討論.

3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我們稱之為有理不等式.

2．分式不等式，切忌去分母，一律移項(xiàng)通分化為>0(或<0)的形式，轉(zhuǎn)化為：，即轉(zhuǎn)化

為一次、二次或特殊高次不等式形式 .

也可以直接用根軸法(零點(diǎn)分段法)求解

1．特殊的高次不等式即右邊化為0，左邊可分解為一次或二次式的因式的形式不等式，一般用區(qū)間法解，注意：①左邊各因式中x的系數(shù)化為“+”，若有因式為二次的(不能再分解了)二次項(xiàng)系數(shù)也化為“+”，再按我們總結(jié)的規(guī)律作；②注意邊界點(diǎn)(數(shù)軸上表示時(shí)是“0”還是“.”).

⒈ 一元二次不等式與特殊的高次不等式解法

例1 解不等式.

分析一：利用前節(jié)的方法求解；

分析二：由乘法運(yùn)算的符號(hào)法則可知，若原不等式成立，則左邊兩個(gè)因式必須異號(hào)，∴原不等式的解集是下面兩個(gè)不等式組：與的解集的并集，即{x|}∪}=φ∪{x|-4<x<1}={x|-4<x<1}.書寫時(shí)可按下列格式：

解二：∵(x-1)(x+4)<0或

x∈φ或-4<x<1-4<x<1，

∴原不等式的解集是{x|-4<x<1}.

小結(jié)：

一元二次不等式的代數(shù)解法：設(shè)一元二次不等式相應(yīng)的方程

的兩根為，

則；

①若

當(dāng)時(shí)，得或；當(dāng)時(shí)，得.

②若

當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得.

分析三：由于不等式的解與相應(yīng)方程的根有關(guān)系，因此可求其根并由相應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)表示出來即可求出不等式的解集.

解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x(從小到大排列)分別為-4，1，這兩根將x軸分為三部分：(-，-4)(-4，1)(1，+)；

②分析這三部分中原不等式左邊各因式的符號(hào)

	(-，-4)	(-4，1)	(1，+)
x+4	-	+	+
x-1	-	-	+
(x-1)(x+4)	+	-	+

③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4<x<1}.

例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；

解：①檢查各因式中x的符號(hào)均正；

②求得相應(yīng)方程的根為：-2，1，3；

③列表如下：

④由上表可知，原不等式的解集為：{x|-2<x<1或x>3}.

小結(jié)：此法叫列表法，解題步驟是：

①將不等式化為(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式(各項(xiàng)x的符號(hào)化“+”)，令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨稱之為分界點(diǎn)，一個(gè)分界點(diǎn)把(實(shí)數(shù))數(shù)軸分成兩部分，n個(gè)分界點(diǎn)把數(shù)軸分成n+1部分……；

②按各根把實(shí)數(shù)分成的n+1部分，由小到大橫向排列，相應(yīng)各因式縱向排列(由對(duì)應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列)；

③計(jì)算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號(hào)，下面是乘積的符號(hào)；

④看下面積的符號(hào)寫出不等式的解集.

練習(xí)：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0.　　　 {x|-1<x<0或2<x<3}.

思考：由函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，能否作出函數(shù)圖像求解

直接寫出解集：{x|-2<x<1或x>3}.　 {x|-1<x<0或2<x<3}

在沒有技術(shù)的情況下：

可大致畫出函數(shù)圖形求解，稱之為根軸法(零點(diǎn)分段法)

①將不等式化為(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)(為什么？)；

④若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

注意：奇過偶不過

例3 解不等式：(x-2)²(x-3)³(x+1)<0.

解：①檢查各因式中x的符號(hào)均正；

②求得相應(yīng)方程的根為：-1，2，3(注意：2是二重根，3是三重根)；

③在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個(gè)根穿一次(自右上方開始奇過偶不過)，如下圖：

④∴原不等式的解集為：{x|-1<x<2或2<x<3}.

說明：∵3是三重根，∴在C處過三次，2是二重根，∴在B處過兩次，結(jié)果相當(dāng)于沒過.由此看出，當(dāng)左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)ⁿ時(shí)，n為奇數(shù)時(shí)，曲線在x₁點(diǎn)處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時(shí)，曲線在x₁點(diǎn)處不穿過數(shù)軸，不妨歸納為“奇過偶不過”.

練習(xí)：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.

解：①將原不等式化為：(x-3)(x+1)(x+2)20；

②求得相應(yīng)方程的根為：-2(二重)，-1，3；

③在數(shù)軸上表示各根并穿線，如圖：

④∴原不等式的解集是{x|-1x3或x=-2}.

說明：注意不等式若帶“=”號(hào)，點(diǎn)畫為實(shí)心，解集邊界處應(yīng)有等號(hào)；另外，線雖不穿過-2點(diǎn)，但x=-2滿足“=”的條件，不能漏掉.

2．分式不等式的解法

例4 解不等式：.

錯(cuò)解：去分母得　 ∴原不等式的解集是.

解法1：化為兩個(gè)不等式組來解：

∵x∈φ或，

∴原不等式的解集是.

解法2：化為二次不等式來解：

∵，

∴原不等式的解集是

說明：若本題帶“=”，即(x-3)(x+7)0，則不等式解集中應(yīng)注意x-7的條件，解集應(yīng)是{x| -7<x3}.

小結(jié)：由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向要變；分母中有未知數(shù)x，不等式兩邊同乘以一個(gè)含x的式子，它的正負(fù)不知，不等號(hào)方向無法確定，無從解起，若討論分母的正負(fù)，再解也可以，但太復(fù)雜.因此，解分式不等式，切忌去分母.

解法是：移項(xiàng)，通分，右邊化為0，左邊化為的形式.

例5 解不等式：.

解法1：化為不等式組來解較繁.

解法2：∵

，

∴原不等式的解集為{x| -1<x1或2x<3}.

也可以直接用根軸法(零點(diǎn)分段法)求解：

練習(xí)：1.課本P21練習(xí)：3⑴⑵；2.解不等式.

答案：1.⑴{x|-5<x<8}；⑵{x|x<-4,或x>-1/2}；2.{x|-13<x<-5}.

2解不等式：.(答：{x|x0或1<x<2})

2．一元二次不等式的解法步驟

一元二次不等式的解集：

設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：(課本第19頁)

二次函數(shù) ()的圖象
一元二次方程	有兩相異實(shí)根	有兩相等實(shí)根	無實(shí)根
			R

引言：今天我們來研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法

1．一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系

32.(6分)有研究小組通過洋蔥根尖分生區(qū)有絲分裂實(shí)驗(yàn)，比較一個(gè)細(xì)胞周期中不同時(shí)期的長(zhǎng)短，又根據(jù)細(xì)胞周期時(shí)間長(zhǎng)短計(jì)算某個(gè)時(shí)期的細(xì)胞數(shù)，獲得了表一所示的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

表一　洋蔥根尖有絲分裂細(xì)胞周期中不同時(shí)期的細(xì)胞數(shù)

通過有關(guān)動(dòng)物細(xì)胞培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)獲得B圖所示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，B圖表示處于一個(gè)細(xì)胞周期中　　　　

各個(gè)時(shí)期細(xì)胞數(shù)目的變化(用特殊的方法在一個(gè)培養(yǎng)基中測(cè)得的)，A圖表示在一個(gè)細(xì)

胞周期(G₁、S、G₂組成了分裂間期，M為分裂期)中的細(xì)胞核內(nèi)DNA含量的變化曲

線。請(qǐng)根據(jù)表和圖中的信息回答下列問題：

(1)若已知洋蔥根尖分生區(qū)有絲分裂的細(xì)胞周期為12 h，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算分裂間期的時(shí)間約為　　h(保留1位小數(shù))；分裂前期細(xì)胞的主要特征是　　。

　 　 (2)根據(jù)B圖，DNA含量為4C的細(xì)胞，處在A圖的　　期。用DNA合成抑制劑處理，B圖中DNA含量為2C的細(xì)胞數(shù)量會(huì)　　。用秋水仙素處理，B圖中DNA含量為　　C的細(xì)胞數(shù)量會(huì)增加。根據(jù)A、B圖示信息，S期細(xì)胞數(shù)是　　個(gè)。

31..(8分)將長(zhǎng)勢(shì)相同、數(shù)量相等的甲、乙兩個(gè)品種的大豆幼苗分別置于兩個(gè)相同的密閉透明玻璃罩內(nèi)，在光照、溫度等相同且適宜的條件下培養(yǎng)，定時(shí)測(cè)定玻璃罩內(nèi)的CO₂含量，結(jié)果如圖。據(jù)圖回答：

(1)0-25 min期間，影響甲品種大豆幼苗光合作用強(qiáng)度的主要因素是　　含量。

(2)乙植株比甲植株固定CO₂的能力　　　。

(3)0-15 min期間植株釋放O₂速率的變化趨勢(shì)是　　　。

(4)30-45min期間兩個(gè)玻璃罩內(nèi)CO₂含量相對(duì)穩(wěn)定的原因是　　　　　　　。