【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圓,過點C作∠BCD=∠ACB交⊙O于點D,連接AD交BC于點E,延長DC至點F,使CF=AC,連接AF.
(1)求證:ED=EC;
(2)求證:AF是⊙O的切線;
(3)如圖2,若點G是△ACD的內(nèi)心,BCBE=25,求BG的長.
【答案】(1)見解析; (2)見解析; (3)5
【解析】
(1)根據(jù)AB=AC,可得∠ABC=∠ACB,再根據(jù)∠ACB=∠BCD,∠ABC=∠ADC,可得∠BCD=∠ADC,根據(jù)等角對等邊即可證明ED=EC;
(2)連接OA,由垂徑定理可得OA⊥BC,再通過角的和差關(guān)系可得∠CAF=∠ACB,即可證明AF∥BC,即OA⊥AF,即可證明AF為⊙O的切線;
(3)連接AG,通過證明△ABE∽△CBA,可得=,從而求得AB=5,再根據(jù)點G為內(nèi)心,可得∠DAG=∠GAC,再根據(jù)∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB,即可求出∠BAG=∠BGA,根據(jù)等角對等邊即可求出BG=AB=5.
解:(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵∠ACB=∠BCD,∠ABC=∠ADC,
∴∠BCD=∠ADC,
∴ED=EC;
(2)如圖1,連接OA,
∵AB=AC,
∴,
∴OA⊥BC,
∵CA=CF,
∴∠CAF=∠CFA,
∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF,
∵∠ACB=∠BCD,
∴∠ACD=2∠ACB,
∴∠CAF=∠ACB,
∴AF∥BC,
∴OA⊥AF,
∴AF為⊙O的切線;
(3)如圖2,連接AG,
∵∠ABE=∠CBA,∠BAD=∠BCD=∠ACB,
∴△ABE∽△CBA,
∴=,
∴AB2=BCBE,
∵BCBE=25,
∴AB=5,
∴∠BAG=∠BAD+∠DAG,∠BGA=∠GAC+∠ACB,
∵點G為內(nèi)心,
∴∠DAG=∠GAC,
又∵∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB,
∴∠BAG=∠BGA,
∴BG=AB=5.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸交于點,與軸交于點,拋物線經(jīng)過點.
(1)求滿足的關(guān)系式及的值;
(2)當(dāng)時,求拋物線解析式,并直接寫出當(dāng)時的取值范圍.
(3)當(dāng)時,若的函數(shù)值隨的增大而增大,求的取值范圍;
(4)如圖,當(dāng)時,在第二象限的拋物線上找點,使的面積最大,求出點坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形中,,,點是射線上一動點,把沿直線折疊,其中點的對應(yīng)點為點,連接,若為直角三角形,則__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖△ABC內(nèi)接于⊙O,OH⊥AC于H,過A點的切線與OC的延長線交于點D,∠B=30°,OH=5.請求出:
(1)∠AOC的度數(shù);
(2)△OAC的面積;
(3)線段AD的長(結(jié)果保留根號).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=52°,BE為AC邊上的中線,AD平分∠BAC,交BC邊于點D,過點B作BF⊥AD,垂足為F,則∠EBF的度數(shù)為( )
A.19°B.33°C.34°D.43°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年的春節(jié),對于我們來說,有些不一樣,我們不能和小伙伴相約一起玩耍,不能去游樂場放飛自我,也不能和自己的兄弟姐妹一起吃美味的大餐,這么做,是因為我們每一個人都在面臨一個眼睛看不到的敵人,它叫病毒,殘酷的病毒會讓人患上肺炎,人與人的接觸會讓這種疾病快速地傳播開來,嚴(yán)重的還會有生命危險,目前我省已經(jīng)啟動突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級應(yīng)急響應(yīng),但我們相信,只要大家一起努力,疫情終有會被戰(zhàn)勝的一天.
在這個不能出門的悠長假期里,某小學(xué)隨機(jī)對本校部分學(xué)生進(jìn)行“假期中,我在家可以這么做!A.扎實學(xué)習(xí)、B.快樂游戲、C.經(jīng)典閱讀、D.分擔(dān)勞動、E.樂享健康”的網(wǎng)絡(luò)調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖(若每一位同學(xué)只能選擇一項),請根據(jù)圖中的信息,回答下列問題.
(1)這次調(diào)查的總?cè)藬?shù)是 人;
(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖,并說明扇形統(tǒng)計圖中E所對應(yīng)的圓心角是 度;
(3)若學(xué)校共有學(xué)生的1700人,則選擇C有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)設(shè)計了一款工藝品,每件的成本是50元,為了合理定價,投放市場進(jìn)行試銷.據(jù)市場調(diào)查,銷售單價是100元時,每天的銷售量是50件,而銷售單價每降低1元,每天就可多售出5件,但要求銷售單價不得低于成本.
求出每天的銷售利潤元與銷售單價元之間的函數(shù)關(guān)系式;
求出銷售單價為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元,且每天的總成本不超過7000元,那么銷售單價應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?每天的總成本每件的成本每天的銷售量
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,點A,點B,點C均落在格點上.
(I)計算的值等于____________;
(Ⅱ)請在如圖所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出一個以AB為一邊、面積等于的矩形,并簡要說明畫圖方法(不要求證明)_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在菱形中,,.動點從點出發(fā),沿邊以每秒1個單位長度的速度運動到點時停止,連接,點與點關(guān)于直線對稱,連接,,設(shè)運動時間為(秒).
(1)菱形對角線的長為 ;
(2)當(dāng)點恰在上時,求t的值;
(3)當(dāng)時,求的周長;
(4)直接寫出在整個運動過程中,點運動的路徑長.
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