Question

6．已知橢圓5x²+9y²=45，橢圓的右焦點為F，
（1）求過點F且斜率為1的直線l₀被橢圓截得的弦AB的長．
（2）求以點M（1，1）為中點的橢圓的弦CD所在的直線l方程．

Answer 1

分析 （1）橢圓5x²+9y²=45，可得c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2．橢圓的右焦點F（2，0），直線l₀的方程為：y=x-2．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立化為：14x²-36x-9=0，利用|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．
（2）設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則$5{x}_{3}^{2}$+9${y}_{3}^{2}$=45，$5{x}_{4}^{2}+9{y}_{4}^{2}$=45，相減利用中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式即可得出．

解答 解：（1）橢圓5x²+9y²=45，化為：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴a=3，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2．
∴橢圓的右焦點F（2，0），直線l₀的方程為：y=x-2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{5{x}^{2}+9{y}^{2}=45}\end{array}\right.$，化為：14x²-36x-9=0，
∴x₁+x₂=$\frac{36}{14}$，x₁•x₂=$\frac{-9}{14}$，
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（\frac{36}{14}）^{2}-4×（-\frac{9}{14}）]}$=$\frac{30}{7}$．
（2）設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則$5{x}_{3}^{2}$+9${y}_{3}^{2}$=45，$5{x}_{4}^{2}+9{y}_{4}^{2}$=45，
相減可得：5（x₃+x₄）（x₃-x₄）+9（y₃+y₄）（y₃-y₄）=0．
∴5×2+9×2×k_l=0，解得k_l=-$\frac{5}{9}$．
∴要求的直線l₀的方程為：y-1=-$\frac{5}{9}$（x-1），化為：5x+9y-14=0．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．