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2.設(shè)i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z和ω滿足zω+2iz一2iω+1=0.
(1)若z和ω滿足\overline{ω}-z=2i,求z和ω的值;
(2)求證:如果|z|=\sqrt{3},那么|ω-4i|的值是一個常數(shù),并求這個常數(shù).

分析 (1)設(shè)出ω=x+yi(,x,y∈R),問題轉(zhuǎn)化為(x+yi)(x-yi)-4i(x+yi)+2i(x-yi)+5=0,得到關(guān)于x,y的方程組,求出x,y的值即可;
(2)問題轉(zhuǎn)化為:|z||ω+2i|=|2iω-1|①,設(shè)ω=x+yi,表示出ω+2i和2iω-1,求出x2+y2-8y=11,得到|ω-4i|=\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-8y+16},得到其結(jié)果是常數(shù)即可.

解答 解:(1)∵\overline{ω}-z=2i,∴z=\overline{ω}-2i,
代入zω+2iz一2iω+1=0得:
\overline{ω}-2i)(ω+2i)-2iω+1=0,
∴ω\overline{ω}-4iω+2i\overline{ω}+5=0,
設(shè)ω=x+yi(,x,y∈R),
則上式可變?yōu)椋▁+yi)(x-yi)-4i(x+yi)+2i(x-yi)+5=0,
∴x2+y2+6y+5-2xi=0,
\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}+6y+5=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.,
\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-5}\end{array}\right.,
∴ω=-i,z=-i或ω=-5i,z=3i;
(2)zω+2iz一2iω+1=0,
有z(ω+2i)=2iω-1,
∴|z||ω+2i|=|2iω-1|①,
設(shè)ω=x+yi,則有:
|ω+2i|=|x+(y+2)i|=\sqrt{{{x}^{2}(y+2)}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}+4y+4}
|2iω-1|=|-2y-1+2xi|=\sqrt{{(2y+1)}^{2}+{4x}^{2}}=\sqrt{{4x}^{2}+{4y}^{2}+4y+1},
又|z|=3,故①式可變?yōu)椋?br />3(x2+y2+4y+4)=4x2+4y2+4y+1,
∴x2+y2-8y=11,
∴|ω-4i|=|x+(y-4)i|=\sqrt{{x}^{2}{+(y-4)}^{2}}
=\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-8y+16}=\sqrt{16+11}=3\sqrt{3},
∴|ω-4i|的值是常數(shù),且是3\sqrt{3}

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算,考查共軛復(fù)數(shù)問題,考查學(xué)生的綜合運算能力,是一道中檔題.

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