Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PC⊥AD；
（2）求直線MD與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OC，證明AD⊥平面OPC即可得出PC⊥AD；
（2）取OC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，DN，可證MN⊥平面ABCD，故而∠MDN為DM與平面ABCD所成的角，利用勾股定理計(jì)算DN，DM得出cos∠MDN．

解答 解：（1）取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OC，
∵底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，
∴△ACD是等邊三角形，
又側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，O為AD的中點(diǎn)，
∴OP⊥AD，OC⊥AD，
又OP?平面OPC，OC?平面OPC，OP∩OC=O，
∴AD⊥平面OPC，又PC?平面OPC，
∴AD⊥PC．
（2）取OC的中點(diǎn)N，連結(jié)MN，DN，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊥AD，
∴OP⊥平面ABCD，
∵M(jìn)，N分別是PC，OC的中點(diǎn)，
∴MN∥PO，
∴MN⊥平面ABCD，
∴∠MDN為DM與平面ABCD所成的角，
∵△APD，△ACD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
∴OC=OP=$\sqrt{3}$，OD=1，∴MN=ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DN=$\sqrt{O{N}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，∴DM=$\sqrt{M{N}^{2}+D{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∴cos∠MDN=$\frac{DN}{DM}$=$\frac{\sqrt{70}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．