Question

10．已知函數(shù)f（x）=2^-x（4^x-m）是奇函數(shù)，g（x）=lg（10^x+1）+nx是偶函數(shù)
（1）求m+n的值；
（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x）+$\frac{1}{2}$x，試求h（x）在x∈[-1，2]時(shí)的最值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在x=0處有意義，得f（0）=0，解得m，g（x）是偶函數(shù)利用g（-x）=g（x）解得n，從而得m+n的值．
（2）由（1）可得h（x）=f（x）+g（x）+$\frac{1}{2}$x=2^x-2^-x+lg（10^x+1），且h（x）在[-1，2]為增函數(shù)，故可求出最值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2^-x（4^x-m）是奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，
∴f（0）=1-m=0，解得m=1
∵g（x）=lg（10^x+1）+nx是偶函數(shù)．
∴g（-x）=lg（10^-x+1）-nx=lg$\frac{1{0}^{X}+1}{1{0}^{X}}$-nx=lg（10^x+1）-x-nx=lg（10^x+1）-（n+1）x
=g（x）=lg（10^x+1）+nx，
∴n=-（n+1），∴n=-$\frac{1}{2}$，
∴m+n=$\frac{1}{2}$，
（2）由（1）可得（x）+1=2^-x（4^x-1）=2^x-2^-x，
g（x）=lg（10^x+1）-$\frac{1}{2}$x，
∴h（x）=f（x）+g（x）+$\frac{1}{2}$x=2^x-2^-x+lg（10^x+1），
∵h(yuǎn)（x）在[-1，2]為增函數(shù)，
∴h（x）_max=h（2）=$\frac{15}{4}$+lg101，
h（x）_min=h（-1）=lg11-$\frac{5}{2}$

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力．是中檔題．