Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{2}$=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左．右焦點，直線l與橢圓相交于A、B兩點，
（1）線段AB的中點為（1，$\frac{1}{2}$），求直線l的方程；
（2）直線l過點F₁，三角形ABF₂內(nèi)切圓面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$=1，相減再利用斜率計算公式、中點坐標(biāo)公式即可得出．
（2）F₁$（-\sqrt{2}，0）$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設(shè)直線l的方程為：ty=x+$\sqrt{2}$，與橢圓方程聯(lián)立化為：（t²+2）y²-2$\sqrt{2}$ty-2=0，可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．可得${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$×$\frac{4\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$，利用基本不等式的性質(zhì)可得：△F₁AB的面積取得最大值$2\sqrt{2}$．設(shè)△F₁AB的內(nèi)切圓的半徑為r，可得${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}r×4a$=4$\sqrt{2}$r，進(jìn)而得出．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$=1，
相減可得：$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}}{2}$=0，∴$\frac{2}{4}+\frac{1}{2}×\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=0，即1+k_l=0，解得k_l=-1．
∴直線l的方程為：y-$\frac{1}{2}$=-（x-1），化為：2x+2y-3=0．
（2）F₁$（-\sqrt{2}，0）$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)直線l的方程為：ty=x+$\sqrt{2}$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ty=x+\sqrt{2}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（t²+2）y²-2$\sqrt{2}$ty-2=0，
∴∴y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+2}$，y₁•y₂=$\frac{-2}{{t}^{2}+2}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$．
∴${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$×$\frac{4\sqrt{{t}^{2}+1}}{{t}^{2}+2}$=4$\sqrt{2}$×$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}}}$≤$\frac{4c}{2}$=2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時取等號．
∴△F₁AB的面積取得最大值$2\sqrt{2}$．
設(shè)△F₁AB的內(nèi)切圓的半徑為r，則${S}_{△A{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}r×4a$=4$\sqrt{2}$r≤2$\sqrt{2}$．
∴r≤$\frac{1}{2}$，
∴三角形ABF₂內(nèi)切圓面積≤$π×（\frac{1}{2}）^{2}$，取得最大$\frac{π}{4}$，
∴直線l的方程為x+$\sqrt{2}$=0．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)與面積，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．