Question

13．已知三個(gè)集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x∈R|x²-ax+a-1=0}，C={x∈R|x²-bx+2=0}，同時(shí)滿足B?A，C⊆A的實(shí)數(shù)a、b是否存在？若存在，求出a、b的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 由集合A，B，C間的包含關(guān)系進(jìn)行求解，即可求得答案，其中應(yīng)注意運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想．

解答 解：A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，B={x∈R|x²-ax+a-1=0}，C={x∈R|x²-bx+2=0}，
∵x=1是方程x²-ax+a-1=0的解，
∴B≠∅，
而B?A，∴B={1}，可以解得a=2，
由C⊆A，進(jìn)行分類討論：
①若C=∅，則△＜0，∴$-2\sqrt{2}$＜b＜2$\sqrt{2}$；
②若C={1}或{2}時(shí)，△=0，∴b=$±2\sqrt{2}$，此時(shí)，C={$\sqrt{2}$}或{-$\sqrt{2}$}，不合題意，故舍去；
③若C={1，2}時(shí)，解得b=3，
綜上，實(shí)數(shù)a，b的取值分別為a=2，b=3或-2$\sqrt{2}$＜b＜2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查集合間的包含關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．