Question

6．已知函數(shù)f（x）=x+asinx．
（Ⅰ） 若函數(shù)f（x）在$x=\frac{2π}{3}$處有極值，求f（x）在[0，π]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到a的值，求出函數(shù)的表達(dá)式，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為只需滿足f'（x）=1+acosx在（-∞，+∞）上的最小值大于等于0即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x+asinx，
∴f'（x）=1+acosx，
f′（$\frac{2π}{3}$）=1+acos$\frac{2π}{3}$=0，
解得：a=2，
故f（x）=x+2sinx，f′（x）=1+2cosx，
令f′（x）＞0，解得：0≤x＜$\frac{2π}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{2π}{3}$＜x≤π，
∴f（x）在[0，$\frac{2π}{3}$）遞增，在（$\frac{2π}{3}$，π]遞減，
∴f（x）的最小值是f（0）或f（π），
而f（0）=0，f（π）=π，
故f（x）的最小值是0；
（Ⅱ）∵f（x）=x+asinx，
∴f'（x）=1+acosx，
又∵f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，
∴f'（x）≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
即1+acosx≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
∴只需滿足f'（x）=1+acosx在（-∞，+∞）上的最小值大于等于0即可，
又∵cosx∈[-1，1]，
∴當(dāng)a≥0時，f'_min（x）=1-a≥0，解得0≤a≤1，
當(dāng)a＜0時，f'_min（x）=1+a≥0，解得-1≤a＜0，
∴-1≤a≤1．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查函數(shù)的極值問題．當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于等于0時，原函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于等于0時，原函數(shù)單調(diào)遞減．