Question

4．已知A（2，0），B（3，$2\sqrt{6}$）．
（1）求中心在原點(diǎn)，A為長(zhǎng)軸右頂點(diǎn)，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求中心在原點(diǎn)，A為右焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）利用A為長(zhǎng)軸右頂點(diǎn)，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，確定橢圓的幾何量，即可得到標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）利用雙曲線的定義，求出a，可得b，即可得到標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）由題意，a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）由題意$\sqrt{（3+2）^{2}+（2\sqrt{6}）^{2}}$-$\sqrt{（3-2）^{2}+（2\sqrt{6}）^{2}}$=7-5=2a，
∴a=1，
∵c=2，
∴b=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定橢圓、雙曲線的幾何量是關(guān)鍵．