Question

6．已知方程ln|x|-ax²+$\frac{3}{2}$=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（{0，\frac{e^2}{2}}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，利用參數(shù)分離式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由ln|x|-ax²+$\frac{3}{2}$=0，得ax²=ln|x|+$\frac{3}{2}$，
∵x≠0，
∴方程等價(jià)為a=$\frac{ln|x|+\frac{3}{2}}{{x}^{2}}$，
設(shè)f（x）=$\frac{ln|x|+\frac{3}{2}}{{x}^{2}}$，
則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{lnx+\frac{3}{2}}{{x}^{2}}$，
則f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{x}^{2}-（lnx+\frac{3}{2}）•2x}{{x}^{4}}$=$\frac{-2x（1+lnx）}{{x}^{4}}$，
由f′（x）＞0得-2x（1+lnx）＞0，得1+lnx＜0，即lnx＜-1，得0＜x＜$\frac{1}{e}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得-2x（1+lnx）＜0，得1+lnx＞0，即lnx＞-1，得x＞$\frac{1}{e}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x＞0時(shí)，x=$\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{ln\frac{1}{e}+\frac{3}{2}}{（\frac{1}{e}）^{2}}$
=（-1+$\frac{3}{2}$）e²=$\frac{1}{2}$e²，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
要使a=$\frac{ln|x|+\frac{3}{2}}{{x}^{2}}$，
有4個(gè)不同的交點(diǎn)，
則滿足0＜a＜$\frac{{e}^{2}}{2}$，
故答案為：$（{0，\frac{e^2}{2}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，借助數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．