Question

9．已知四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與PD所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)棱長都為1，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OE，推導(dǎo)出OE∥PD，∠AEO或其補(bǔ)角為異面直線AE與PD所成的角．由此能求出異面直線AE與PD所成角的余弦值．

解答 解：設(shè)棱長都為1，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OE．
∵所有棱長都相等，不妨設(shè)ABCD是正方形．
∴O是BD的中點(diǎn)，且OE∥PD，
∴∠AEO或其補(bǔ)角為異面直線AE與PD所成的角．
又OE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在△OAE中，
由余弦定理得cos∠AEO=$\frac{A{E}^{2}+O{E}^{2}-O{A}^{2}}{2AE•OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴異面直線AE與PD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．