Question

3．在Rt△ABC中，已知AC=4，BC=1，P是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（除端點(diǎn)外），設(shè)P到兩直角邊的距離分別為d₁，d₂，則$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 運(yùn)用三角形的面積公式可得S_△ABC=S_△BCD+S_△ACP，即為4=d₁+4d₂，求得$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$=$\frac{1}{4}$（d₁+4d₂）（$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$）
展開(kāi)后運(yùn)用基本不等式，計(jì)算即可得到所求最小值．

解答 解：如右圖，可得S_△ABC=S_△BCD+S_△ACP，
$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$d₁•BC+$\frac{1}{2}$d₂•AC，
即為4=d₁+4d₂，
則$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$=$\frac{1}{4}$（d₁+4d₂）（$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}$）
=$\frac{1}{4}$（1+4+$\frac{48a0ii4o_{2}}{4qy28iq_{1}}$+$\frac{iggqiem_{1}}{weumaii_{2}}$）
≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{4iaoyogq_{2}}{mi2wc4a_{1}}•\frac{88uueuw_{1}}{8coysu8_{2}}}$）=$\frac{1}{4}$×（5+4）=$\frac{9}{4}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4qe4kk6s_{2}}{qkc4sqe_{1}}$=$\frac{aqo0aes_{1}}{4i4giqm_{2}}$，即d₁=2d₂=$\frac{4}{3}$，取得最小值$\frac{9}{4}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式在最值問(wèn)題中的運(yùn)用，注意運(yùn)用等積法，以及乘1法，運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，注意等號(hào)成立的條件，屬于中檔題和易錯(cuò)題．