Question

3．如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥PC，AB=BC，點M，N分別為PC，AC的中點．求證：
（1）直線PA∥平面BMN；
（2）平面PBC⊥平面BMN．

Answer 1

分析 （1）推導出MN∥PA，由此能證明直線PA∥平面BMN． 
（2）推導出BN⊥AC，從而BN⊥平面PAC，進而PC⊥BN，PC⊥MN，由此能證明平面PBC⊥平面BMN．

解答 證明：（1）∵點M，N分別為PC，AC的中點，
∴MN∥PA，…（2分）
又∵PA?平面BMN，MN?平面BMN，
∴直線PA∥平面BMN． …（6分）
（2）∵AB=BC，點N為AC中點，
∴BN⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BN?平面ABC，BN⊥AC，
∴BN⊥平面PAC，…（9分）
∵PC?平面PAC，∴PC⊥BN，
由（1）可知：MN∥PA，
∵PA⊥PC，∴PC⊥MN，
∵PC⊥BN，PC⊥MN，BN∩MN=N，BN，MN在平面BMN內(nèi)，
∴PC⊥平面BMN，…（12分）
∵PC?平面PAC，∴平面PBC⊥平面BMN．    …（14分）

點評 本題考查線面平行，面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．