Question

10．甲將要參加某決賽，賽前A，B，C，D四位同學(xué)對(duì)冠軍得主進(jìn)行競(jìng)猜，每人選擇一名選手，已知A，B選擇甲的概率均為m，C，D選擇甲的概率均為n（m＞n），且四人同時(shí)選擇甲的概率為$\frac{9}{100}$，四人均未選擇甲的概率為$\frac{1}{25}$．
（1）求m，n的值；
（2）設(shè)四位同學(xué)中選擇甲的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式列出關(guān)于m，n的方程組，能求出結(jié)果．
（2）先求出隨機(jī)變量X的所有可能取值，然后根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的概率計(jì)算公式可得到各自的概率，并列出分布列，然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式能求出結(jié)果．

解答 解：由已知得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}{n}^{2}=\frac{9}{100}}\\{（1-m）^{2}（1-n）^{2}=\frac{1}{25}}\\{m＞n}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{3}{5}$，n=$\frac{1}{2}$．
（2）由題意X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{1}{25}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}×\frac{3}{5}×（1-\frac{3}{5}）×（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{3}{5}）^{2}×$${C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{5}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{1}×\frac{3}{5}×（1-\frac{3}{5}）×{C}_{2}^{1}×（1-\frac{1}{2}）+（\frac{3}{5}）^{2}×$$（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{3}{5}）^{2}×（1-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{37}{100}$，
P（X=3）=${C}_{2}^{1}×\frac{3}{5}×（1-\frac{3}{5}）×（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3}{5}）^{2}×{C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{3}{10}$，
P（X=4）=$\frac{9}{100}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{25}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{37}{100}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{9}{100}$

E（X）=$0×\frac{1}{25}+1×\frac{1}{5}+2×\frac{37}{100}+3×\frac{3}{10}+4×\frac{9}{100}$=2.2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相互獨(dú)立事件的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查學(xué)生基本的統(tǒng)計(jì)知識(shí)和綜合應(yīng)用知識(shí)的能力，是中檔題．