Question

4．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，觀察程序框圖，若k=5，k=10時(shí)，分別有S=$\frac{5}{11}$和S=$\frac{10}{21}$．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=3ⁿ•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）經(jīng)過分析，程序框圖為當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，按照框圖題意分析求出{a_n}的通項(xiàng)．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到b_n，T_n=3×1+3²×3+…+3^n-1（2n-3）+3ⁿ（2n-1），進(jìn)而可求3T_n，2T_n，從而可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由已知可得{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則有：S_k=5=$\frac{1}xd7lyzg$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}+d}$+…+$\frac{1}{{a}_{1}+4d}$-$\frac{1}{{a}_{1}+5d}$）=$\frac{1}d8n1ih2$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}+5d}$）=$\frac{5}{11}$，
S_k=10=$\frac{1}dcq5gre$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}+d}$+…+$\frac{1}{{a}_{1}+9d}$-$\frac{1}{{a}_{1}+10d}$）=$\frac{1}lwfdraz$（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{1}+10d}$）=$\frac{10}{21}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{d=-2}\end{array}\right.$（舍去），
則a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）2=2n-1．…（6分）
（2）∵T_n=3×1+3²×3+…+3^n-1（2n-3）+3ⁿ（2n-1），
∴3T_n=3²×1+3³×3+…+3ⁿ（2n-3）+3ⁿ⁺¹（2n-1），
則2T_n=-3-2（3²+3³+…+3ⁿ）+…3ⁿ⁺¹（2n-1）=3ⁿ⁺¹（2n-1）+$\frac{3（{3}^{n}-1）}{2}$
可得：T_n=3+（n-1）3ⁿ⁺¹．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查程序框圖，數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示方法，數(shù)列的求和，通過對(duì)知識(shí)的熟練把握，分別進(jìn)行求值，屬于中檔題．