Question

15．（理科答）已知數(shù)列{a_n}及等差數(shù)列{b_n}，若a₁=3，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2），a₁=b₂，2a₃+a₂=b₄，
（1）證明數(shù)列{a_n-2}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}及數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1的兩邊減2，再由等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到；
（3）求得a_n•b_n=[2+（$\frac{1}{2}$）^n-1]（2n-1）=2（2n-1）+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，再由數(shù)列的求和方法：分組求和和錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求和．

解答 證明：（1）a₁=3，a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+1（n≥2），
a_n-2=$\frac{1}{2}$（a_n-1-2），
則數(shù)列{a_n-2}為首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
解：（2）由（1）可得a_n-2=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即為a_n=2+（$\frac{1}{2}$）^n-1，
a₁=b₂=3，
2a₃+a₂=b₄=2（2+$\frac{1}{4}$）+2+$\frac{1}{2}$=7，
可得等差數(shù)列{b_n}的公差d=$\frac{7-3}{4-2}$=2，
則b_n=b₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
（3）數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，
a_n•b_n=[2+（$\frac{1}{2}$）^n-1]（2n-1）=2（2n-1）+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
設(shè)S_n=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+3•（$\frac{1}{2}$）+5•（$\frac{1}{2}$）²+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
相減可得，$\frac{1}{2}$S_n=1+2[（$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=1+2[$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡(jiǎn)可得S_n=6-$\frac{4n+6}{{2}^{n}}$，
則T_n=2•$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）+6-$\frac{4n+6}{{2}^{n}}$=2n²+6-$\frac{4n+6}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列的求和方法：分組求和和錯(cuò)位相減法，考查化簡(jiǎn)整理的能力，屬于中檔題．