Question

19．有4名男生、5名女生，全體排成一行，下列情形各有多少種不同的排法？
（1）甲不在中間也不在兩端；
（2）甲、乙兩人必須排在兩端；
（3）女生互不相鄰．
（4）男生必須相鄰．

Answer 1

分析 （1）這是一個(gè)排列問(wèn)題，一般情況下，我們會(huì)從受到限制的特殊元素開(kāi)始考慮，先排甲有6種，剩下的8個(gè)元素全排列有A₈⁸種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（2）先排甲、乙，再排其余7人，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（3）用插空法，先排好男生，將女生插入到男生形成的空位中即可，先由排列數(shù)公式計(jì)算男生、女生的排法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．
（4）用捆綁法將4名男生看成一個(gè)整體，與5名女生全排列，由排列數(shù)公式計(jì)算每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理可得答案．

解答 解：（1）先排甲有6種，
其余有A₈⁸種，
∴共有6•A₈⁸=241920種排法．
（2）先排甲、乙，再排其余7人，
共有A₂²•A₇⁷=10080種排法．
（3）插空法．先排4名男生有A₄⁴種方法，再將5名女生插空，有A55種方法，故共有A₄⁴•A₅⁵=2 880（種）排法．
（4）捆綁法．將4名男生看成一個(gè)整體，考慮其順序有A₄⁴種排法，
將4名男生的整體與5名女生全排列，有A₆⁶種排法，
則不同的排法有A₄⁴×A₆⁶=17280種

點(diǎn)評(píng) 本題集排列多種類(lèi)型于一題，充分體現(xiàn)了元素分析法（優(yōu)先考慮特殊元素）、位置分析法（優(yōu)先考慮特殊位置）、直接法、間接法（排除法）、捆綁法、等機(jī)會(huì)法、插空法等常見(jiàn)的解題思路．