Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，AB⊥BP，M、N分別為AC、PD的中點．求證：
（1）MN∥平面ABP；
（2）平面ABP⊥平面APC的充要條件是BP⊥PC．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BD，由于四邊形ABCD為矩形，則BD必過點M，容易得到MN∥BP，由線面平行的判定定理可證；
（2）從充分性和必要性兩個方面進(jìn)行證明，利用面面垂直的性質(zhì)以及判定定理證明．

解答： 證明：（1）連接BD，由于四邊形ABCD為矩形，則BD必過點M，…（1分）
又點N是PD的中點，則MN∥BP，…（2分）
MN?平面ABP，BP?平面ABP，
∴MN∥平面ABP…（4分）
（2）充分性：由“BP⊥PC．”⇒“平面ABP⊥平面APC”
∵AB⊥BP，AB⊥BC，BP?平面PBC，BC?平面PBC，BP∩BC=B
∴AB⊥平面PBC，…（6分）
PC?平面PBC∴AB⊥PC，…..（7分）
又PC⊥BP，AB，BP是面ABP內(nèi)兩條相交直線
∴PC⊥平面ABP，PC?平面APC，…（9分）
∴平面ABP⊥平面APC； …..（10分）
必要性：由“平面ABP⊥平面APC”⇒“BP⊥PC．”
過B作BH⊥AP于H，
∵平面ABP⊥平面APC，面ABP∩APC=AP，BH?平面ABP∴BH⊥平面APC，…．（12分）
由上已證AB⊥PC，
所以PC⊥平面ABP，PC⊥PB．…．（14分）

點評：本題考查了線面平行的判定定理以及面面垂直的性質(zhì)以及判定定理的運用屬于中檔題．