【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)設(shè)是的導(dǎo)函數(shù),若對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍;
(3)若,,求證:.
【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析
【解析】
(1)當(dāng)a=1,求得函數(shù)g(x)的解析式,求導(dǎo),g′(x)<0和g′(x)>0,求得函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和單調(diào)遞增區(qū)間,g′(x)=0,x,由函數(shù)的單調(diào)性可知x為函數(shù)g(x)的極小值;
(2)求得f′(x),將原不等式轉(zhuǎn)化成,2lna≤x﹣2lnx﹣1在x>0上恒成立,構(gòu)造輔助函數(shù),h(x)=x﹣2lnx﹣1,求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得h(x)有最小值,即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)由(1)可知,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知<<1,可知g()>g()=ln,則ln+ln<(2)ln(),由基本不等式的關(guān)系可知24,ln()<0,即ln+ln<4ln(),根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到.
(1)當(dāng)a=1時(shí),g(x)==xln x,∴g'(x)=1+ln x.令g'(x)=0得x=.
當(dāng)x∈時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=時(shí),g(x)取得極小值-.
(2)f'(x)=2x(ln x+ln a)+x,
≤1,即2ln x+2ln a+1≤x,
所以2ln a≤x-2ln x-1在x>0上恒成立,
設(shè)u(x)=x-2ln x-1,則u'(x)=1-.
令u'(x)=0,得x=2.
當(dāng)0<x<2時(shí),u'(x)<0,u(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>2時(shí),u'(x)>0,u(x)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=2時(shí),u(x)有最小值u(2)=1-2ln 2.
∴2ln a≤1-2ln 2,解得0<a≤.∴a的取值范圍是.
(3)由(1)知g(x)=xln x在內(nèi)是減函數(shù),在上是增函數(shù).
∵<<<1,∴g()=()ln()>g()=ln ,
即ln x1<ln().
同理ln <ln().
∴ln +ln<ln(x1+x2)=ln().
又∵2+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)“=”時(shí),取等號(hào).
又,∈,<1,ln()<0,
∴ln()≤4ln(),
∴ln+ln<4ln().∴.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下圖頻率分布直方圖:
(I)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(II)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.
(i)利用該正態(tài)分布,求;
(ii)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用(i)的結(jié)果,求.
附:
若則,.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè),若不等式對(duì)都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若且時(shí),求函數(shù)的零點(diǎn).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,已知,,平面平面,點(diǎn)分別是的中點(diǎn),,連接.
(1)若,并異面直線與所成角的余弦值的大;
(2)若二面角的余弦值的大小為,求的長.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中錯(cuò)誤的是( )
A. 先把高二年級(jí)的名學(xué)生編號(hào)為到,再從編號(hào)為到的名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生,其編號(hào)為,然后抽取編號(hào)為,,的學(xué)生,這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法.
B. 正態(tài)分布在區(qū)間和上取值的概率相等
C. 若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的值越接近于
D. 若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)都是
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com