Question

8．已知函數(shù)g（x）=x（e^x-e^-x）-（3x-1）（e^3x-1-e^1-3x），則滿足g（x）＞0的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-∞，\frac{1}{2}}）$
• B． $（{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． $（{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}）$
• D． $（{-∞，\frac{1}{4}}）∪（{\frac{1}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 構(gòu)造新函數(shù)h（x）=x（e^x-e^-x），求證h（x）為偶函數(shù)且在x＞0上單調(diào)遞增，即能得到h（|x|）＞h（|3x-1|）．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)h（x）=x（e^x-e^-x）
h（-x）=（-x）（e^-x-e^x）=x（e^x-e^-x），所以函數(shù)h（x）是偶函數(shù)．
當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，由h（x）＞0知：
x（e^x-e^-x）＞（3x-1）（e^3x-1-e^1-3x）
即：h（x）＞h（3x-1）
由于h（x）是偶函數(shù)，不等式等價(jià)于h（|x|）＞h（|3x-1|）
由h（x）在x＞0上是增函數(shù)，∴|x|＞|3x-1|
兩邊平方解得：$\frac{1}{4}＜x＜\frac{1}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查了構(gòu)造新函數(shù)，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬中等題．