Question

5．一對(duì)父子參加一個(gè)親子摸獎(jiǎng)游戲，其規(guī)則如下：父親在裝有紅色、白色球各兩個(gè)的甲袋子里隨機(jī)取兩個(gè)球，兒子在裝有紅色、白色、黑色球各一個(gè)的乙袋子里隨機(jī)取一個(gè)球，父子倆取球相互獨(dú)立，兩人各摸球一次合在一起稱為一次摸獎(jiǎng)，他們?nèi)〕龅娜齻�(gè)球的顏色情況與他們獲得的積分對(duì)應(yīng)如表：

所取球的情況	三個(gè)球均為紅色	三個(gè)球均不同色	恰有兩球?yàn)榧t色	其他情況
所獲得的積分	180	90	60	0

（1）求一次摸獎(jiǎng)中，他們所獲得的積分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望
（2）按照以上規(guī)則重復(fù)摸獎(jiǎng)三次，求至少有兩次獲得積分為60的概率．

Answer 1

分析 （1）求出X的取值，再求出取各個(gè)值的概，列出分布列，再由期望公式求期望；
（2）所取三個(gè)球恰有兩個(gè)是紅球，包含兩類基本事件，即父親取出兩個(gè)紅球，兒子取出一個(gè)不是紅球；父親取出兩球?yàn)橐患t一白，兒子取出一球?yàn)榧t球，然后利用古典概型概率計(jì)算公式及互斥事件的加法公式求得一次摸獎(jiǎng)中，所取的三個(gè)球中恰有兩個(gè)是紅球的概率，再由二項(xiàng)分布的定義知，三次摸獎(jiǎng)中恰好獲得60個(gè)積分的次數(shù)Y～B（3，$\frac{1}{3}$），然后結(jié)合互斥事件的概率公式求得答案．

解答 解：（1）X可以取180，90，60，0，取各個(gè)值的概率分別為：
P（X=180）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{1}{{C}_{3}^{1}}$=$\frac{1}{18}$，P（X=90）=$\frac{{C}_{2}^{1}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{1}{{C}_{3}^{1}}=\frac{2}{9}$，
P（X=60）=$\frac{1}{3}$，P（X=0）=1-$\frac{1}{18}-\frac{2}{9}-\frac{1}{3}=\frac{7}{18}$．
所求分布列為：

X	180	90	60	0
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{7}{18}$

隨機(jī)變量X的期望E（X）=180×$\frac{1}{18}$+90×$\frac{2}{9}$+60×$\frac{1}{3}$+0×$\frac{7}{18}$=50；
（2）設(shè)所取三個(gè)球恰有兩個(gè)是紅球?yàn)槭录嗀，
則事件A包含兩類基本事件：父親取出兩個(gè)紅球，兒子取出一個(gè)不是紅球，其概率為$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{1}}=\frac{1}{9}$；
父親取出兩球?yàn)橐患t一白，兒子取出一球?yàn)榧t色其概率為$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{2}}•\frac{{C}_{1}^{1}}{{C}_{3}^{1}}=\frac{2}{9}$．
故P（A）=$\frac{1}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$．
由二項(xiàng)分布的定義知，三次摸獎(jiǎng)中恰好獲得60個(gè)積分的次數(shù)Y～B（3，$\frac{1}{3}$），
則P（Y≥2）=P（Y=2）+P（Y=3）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{2}{3}+{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}=\frac{7}{27}$，
故至少有兩次獲得積分為60的概率為$\frac{7}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查了古典概型概率公式的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)分布，是中檔題．