Question

1．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個(gè)三角形數(shù)為$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n．記第n個(gè)k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：
三角形數(shù)     N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n
正方形數(shù)      N（n，4）=n²
五邊形數(shù)      $N（{n，5}）=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n$
六邊形數(shù)      N（n，6）=2n²-n
…
可以推測(cè)N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算 N（20，32）=5720．

Answer 1

分析 觀察已知式子的規(guī)律，并改寫形式，歸納可得N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$n，把n=20，k=32代入可得答案．

解答 解：三角形數(shù)     N（n，3）=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n=$\frac{3-2}{2}$n²+$\frac{4-3}{2}$n，
正方形數(shù)      N（n，4）=$\frac{4-2}{2}$n²+$\frac{4-4}{2}$n，
五邊形數(shù)      $N（{n，5}）=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{1}{2}n$=$\frac{5-2}{2}$n²+$\frac{4-5}{2}$n，
六邊形數(shù)      N（n，6）=2n²-n=$\frac{6-2}{2}$n²+$\frac{4-6}{2}$n，
…
由歸納推理可得：
N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$n，
故N（20，32）═$\frac{32-2}{2}×2{0}^{2}+\frac{4-32}{2}×20$=5720．
故答案為：5720

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理，觀察已知式子的規(guī)律并改寫形式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，是中檔題．