題目列表(包括答案和解析)

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3.排序

排序的算法很多,課本主要介紹里兩種排序方法:直接插入排序和冒泡排序

(1)直接插入排序

在日常生活中,經常碰到這樣一類排序問題:把新的數(shù)據(jù)插入到已經排好順序的數(shù)據(jù)列中。

例如:一組從小到大排好順序的數(shù)據(jù)列{1,3,5,7,9,11,13},通常稱之為有序列,我們用序號1,2,3,……表示數(shù)據(jù)的位置,欲把一個新的數(shù)據(jù)8插入到上述序列中。

完成這個工作要考慮兩個問題:

(1)確定數(shù)據(jù)“8”在原有序列中應該占有的位置序號。數(shù)據(jù)“8”所處的位置應滿足小于或等于原有序列右邊所有的數(shù)據(jù),大于其左邊位置上所有的數(shù)據(jù)。

(2)將這個位置空出來,將數(shù)據(jù)“8”插進去。

對于一列無序的數(shù)據(jù)列,例如:{49,38,65,97,76,13,27,49},如何使用這種方法進行排序呢?基本思想很簡單,即反復使用上述方法排序,由序列的長度不斷增加,一直到完成整個無序列就有序了

首先,{49}是有序列,我們將38插入到有序列{49}中,得到兩個數(shù)據(jù)的有序列:

{38,49},

然后,將第三個數(shù)據(jù)65插入到上述序列中,得到有序列:

{38,49,65}

…………

按照這種方法,直到將最后一個數(shù)據(jù)65插入到上述有序列中,得到

{13,27,38,49,49,65,76,97}

這樣,就完成了整個數(shù)據(jù)列的排序工作。注意到無序列“插入排序算法”成為了解決這類問題的平臺

(2)冒泡法排序

所謂冒泡法排序,形象地說,就是將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列時,小的數(shù)據(jù)視為質量輕的,大的數(shù)據(jù)視為質量沉的。一個小的數(shù)據(jù)就好比水中的氣泡,往上移動,一個較大的數(shù)據(jù)就好比石頭,往下移動。顯然最終會沉到水底,最輕的會浮到頂,反復進行,直到數(shù)據(jù)列排成為有序列。以上過程反映了這種排序方法的基本思路。

我們先對一組數(shù)據(jù)進行分析。

設待排序的數(shù)據(jù)為:{49,38,65,97,76,13,27,49}

排序的具體操作步驟如下:

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2.秦九韶算法

秦九韶算法的一般規(guī)則:

秦九韶算法適用一般的多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值問題。用秦九韶算法求一般多項式f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0當x=x0時的函數(shù)值,可把n次多項式的求值問題轉化成求n個一次多項式的值的問題,即求

v0=an

v1=anx+an-1

v2=v1x+an-2

v3=v2x+an-3

……..

vn=vn-1x+a0

觀察秦九韶算法的數(shù)學模型,計算vk時要用到vk-1的值,若令v0=an

我們可以得到下面的遞推公式:

v0=an

vk=vk-1+an-k(k=1,2,…n)

這是一個在秦九韶算法中反復執(zhí)行的步驟,可以用循環(huán)結構來實現(xiàn)

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1.求最大公約數(shù)

(1)短除法

求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟:先用兩個數(shù)公有的質因數(shù)連續(xù)去除,一直除到所得的商是兩個互質數(shù)為止,然后把所有的除數(shù)連乘起來

(2)窮舉法(也叫枚舉法)

窮舉法求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的解題步驟:從兩個數(shù)中較小數(shù)開始由大到小列舉,直到找到公約數(shù)立即中斷列舉,得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù)

(3)輾轉相除法

輾轉相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù),其算法可以描述如下:

① 輸入兩個正整數(shù)m和n;

② 求余數(shù)r:計算m除以n,將所得余數(shù)存放到變量r中;

③更新被除數(shù)和余數(shù):m=n,n=r;

④判斷余數(shù)r是否為0。若余數(shù)為0,則輸出結果;否則轉向第②步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行

如此循環(huán),直到得到結果為止。

(4)更相減損術

我國早期也有解決求最大公約數(shù)問題的算法,就是更相減損術。在《九章算術》中記載了更相減損術求最大公約數(shù)的步驟:可半者半之,不可半者,副置分母•子之數(shù),以少減多,更相減損,求其等也,以等數(shù)約之

步驟:

Ⅰ.任意給出兩個正數(shù);判斷它們是否都是偶數(shù)。若是,用2約簡;若不是,執(zhí)行第二步。

Ⅱ.以較大的數(shù)減去較小的數(shù),接著把較小的數(shù)與所得的差比較,并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這操作,直到所得的數(shù)相等為止,則這個數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù)。

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算法是高中數(shù)學新課程中的新增內容,本講的重點是幾種重要的算法案例思想,復習時重算法的思想輕算法和程序的構造。

預測2010年高考隊本講的考察是:以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),分值在5分左右,考察的熱點是算法實例和傳統(tǒng)數(shù)學知識的結合題目

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32.(湖北卷)某單位最近組織了一次健身活動,活動分為登山組和游泳組,且每個職工至多參加了其中一組。在參加活動的職工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%。登山組的職工占參加活動總人數(shù)的,且該組中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%。為了了解各組不同的年齡層次的職工對本次活動的滿意程度,現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本。試確定

(1)游泳組中,青年人、中年人、老年人分別所占的比例;

(2)游泳組中,青年人、中年人、老年人分別應抽取的人數(shù)

本小題主要考查分層抽樣的概念和運算,以及運用統(tǒng)計知識解決實際問題的能力.

解  (1)設登山組人數(shù)為,游泳組中,青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c,則有,解得b=50%,c=10%.

故a=100%-50%-10%=40%,即游泳組中,青年人、中年人、老年人各占比例分別為40%、

50%、10%。

(2)游泳組中,抽取的青年人數(shù)為(人);抽取的中年人數(shù)為

50%=75(人);抽取的老年人數(shù)為10%=15(人)

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0.7100+0.35=70.35

故耗能減少了90-70.35=19.65(噸)

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30.(2007廣東理)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量(噸)與相應的生產能耗 (噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù)

                            

   (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;

   (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關于的線性回歸方程;

   (3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤.試根據(jù)(2)求出的線性

回歸方程,預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤?

   (參考數(shù)值:)

 解  (1)如下圖

(2)=32.5+43+54+64.5=66.5

==4.5

==3.5

=+++=86

故線性回歸方程為y=0.7x+0.35

(3)根據(jù)回歸方程的預測,現(xiàn)在生產100噸產品消耗的標準煤的數(shù)量為

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28.(2007湖南文)(本小題滿分12分)在生產過程中,測得纖維產品的纖度(表示纖維粗細的一種量)共有100個數(shù)據(jù),將數(shù)據(jù)分組如右表:

(1)在答題卡上完成頻率分布表,并在給定的坐標系中畫出頻率分布直方圖;

(2)估計纖度落在中的概率及纖度小于的概率是多少?

(3)統(tǒng)計方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值(例如區(qū)間的中點值

)作為代表.據(jù)此,估計纖度的期望.

分組
頻數(shù)












合計

解  (Ⅰ)

分組
頻數(shù)
頻率

4
0.04

25
0.25

30
0.30

29
0.29

10
0.10
 
2
0.02
合計
100
1.00

 

(Ⅱ)纖度落在中的概率約為,纖度小于1.40的概率約為

(Ⅲ)總體數(shù)據(jù)的期望約為

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27.(2007湖南文)根據(jù)某水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù),得到某條河流水位的頻率分布直方圖(如圖2).從圖中可以看出,該水文觀測點平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是                              (   )

A.48米     B.49米   C.50米      D.51米

   答案  C

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