題目列表(包括答案和解析)
1.已知直線l1:x+ay+1=0與直線l2:x-2y+2=0垂直,則a的值為 D
A.2 B.-2 C.- D.
6、直線在y軸上的截距是-1,且它的傾斜角是直線的傾斜角的2倍,則 ( )
A. B. C. D.
平行直線x-y+1 = 0,x-y-1 = 0間的距離是(B) A. B. C.2 D.
(三)解答題
16.已知平面α和不在這個(gè)平面內(nèi)的直線a都垂直于平面β,求證a∥α.
17.如圖,正方形ABCD,E、F分別在AB、CD的中點(diǎn),G為BF的中點(diǎn),現(xiàn)將正方形沿EF折成 120°的二面角.求①異面直線EF和AG所成的角;②AG和平 面EBCF所形成的角.
18.圓柱底面半徑是3,高是4,A與B分別是兩底的圓周上的點(diǎn),且AB=5,求異面直線AB與OO 1間的距離。
19.如圖,已知二面角α-PQ-β為60°,點(diǎn)A和B分別在平面α和平面β內(nèi),點(diǎn)C在棱PQ 上,且∠ACP=∠BCP=30°AC=BC ①求證AB⊥PQ;②求直線PQ
在面ABC所成角的大小.
20.如圖,設(shè)ABCD是矩形,沿對角線DB將ABDC折起,使點(diǎn)C在底面DAB上的射影E恰好落在 AB邊上
(1)求證:平面ABC⊥平面ACD。
(2)若AB=2,BC=,求二面角C-AD-B的大小及三棱錐C-ABD的體積。
(二)填空題
11.兩條異面直線所成的角為θ,則cosθ的取值范圍是 .
12.棱長為1的正方體,PA、PB、PC是共一個(gè)頂點(diǎn)P的三條棱,那么點(diǎn)P到平面ABC的距離是 .
13.從三棱錐六條棱的中點(diǎn)中,任選四個(gè)作為四邊形的頂點(diǎn).其中為平行四邊形的個(gè)數(shù)有 個(gè).
14.正方體ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60°的二面角,則異面直線AD與BF所成角為 .
15.正四棱錐S-ABCD的高為2,底面邊長為,P、Q兩點(diǎn)分別在線段BD和SC上 ,則P、Q兩點(diǎn)的最短距離為 .
(一)選擇題
1.有下列四個(gè)命題:
(1)n條直線中,若任意兩條都共面,則這n條直線都共面
(2)分別與兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線
(3)空間中有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
(4)兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是平行線
其中,真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列命題中,真命題是( )
A.若直線m、n都平行于平面α則m∥n
B.設(shè)α-l-β是直二面角,若直線m⊥l,則m⊥β
C.若m、n在平面α內(nèi)的射影依次是一個(gè)點(diǎn)和一條直線,且m⊥n,則n在α內(nèi)或n與α平行
D.若直線m、n是異面直線,若m與平面α平行,則n與α平行,則n與α相交
3.已知直線a、b和平面α,下列命題正確的是( )
(1) (2)
(3) (4)
A.(1)(2) B.(1)(2)(3)
C.(1)(2)(4) D.(2)(3)(4)
4.設(shè)α、β是兩個(gè)不重合的平面,m和l是兩條不重合的直線,則α∥β的一個(gè)充分條( )
A.lα,mα且l∥β,m∥β
B.lα, mβ且l∥m
C.l⊥α,m⊥β,且l∥m
D.l∥α,m∥β且l∥m
5.四棱柱成平行六面體的充分但不必要條件是( )
A.底面是矩形 B.側(cè)面是平行四邊形
C.一個(gè)側(cè)面是矩形 D.兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形
6.二面角α-EF-β是直二面角,C∈EF,ACα,BCβ,如果∠ACF=30°,∠ACB=60° ,∠BCF=θ,那么cosθ的值等于,則( )
A. B. C. D.
7.如圖,有共同底邊的等邊△ABC和等邊三角形BCD所在平面互相 垂直,則異面直線AB和CD所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
8.正方體ABCD-A1B1C1D1中截面AB1C和截面A1B1C所成的二面角的大小( )
A.45° B.60°
C.arccos D.arccos
9.如圖,BCDE是一個(gè)正方形,AB⊥平面CE,側(cè)圖中相互垂直的平面有( )
A.3組 B.6組
C.7組 D.8組
10.正方形ABCD-A1B1C1D1中,平面A1BC1與平面ABCD所成二面角的正弦值是( )
A. B. C. D.
(二)空間直線和平面
例15 如果直線l是平面α的斜線,那么在平面α內(nèi)( )
A.不存在與l平行的直線
B.不存在與l垂直的直線
C.與l垂直的直線只有一條
D.與l平行的直線有無窮多條
解 A正確。若存在l′α且l′∥l,那么,或者l∥α或者lα,均與“l(fā)是 α的斜線”矛盾
由A.正確D.錯誤
由三垂線定理知,B、C均不正確。
例16 如圖(1),ABCD是正方形,E是AB中點(diǎn),如 將△DAE和△CBE分別沿虛線DE和CE折起,使AE與BE重合,記A與B重合后的點(diǎn)為P,則面PCD與 面ECD所成的二面角為 度.
解:在圖(2)上作PH⊥CD于H,設(shè)正方形ABCD的邊長1.
易知PD=l,PC=l,∴H為DC中點(diǎn).
又ED=EC.
∴EH⊥DC于H.
設(shè)∠PHE=θ,則θ為面PCD與面ECD所成二面角的大小.
在△PDC中,由PD=PC=DC=l,得PH=,
在△EDC中,由EH=
==l,
又P是A、B重合的點(diǎn),故PE=AE=.
用余弦定理于△PHE,有
cosθ=cos∠PHE=
=,
由于θ∈(0,180°),得θ=30°.
應(yīng)填30°.
例17 已知:如圖,平面α∩平面β=直線a,α 、β同時(shí)垂直于平面 r,又同時(shí)平行于直線b.
求證:(1)a⊥γ,(2)b⊥γ.
證明:(1)設(shè)α∩γ=m,β∩γ=n.
在直線a上任選不在平面γ上的點(diǎn)A,作AO⊥m于O,AO′⊥n于O′.
∵AOα,α⊥γ且α∩γ=m,AO⊥m,
∴AO⊥γ(兩面垂直,則在其中一個(gè)平面上且垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)面).同理AO ′⊥γ.
但平面γ外的點(diǎn)A在平面γ的射影唯一.
∴O和O′重合于m,n的交點(diǎn).
即直線a⊥平面γ.
(2)∵b∥平面α,
∴存在b′α,b′≠a;滿足b∥b′.
又b∥β,從而b′∥β.
因?yàn)槠矫姒吝^b′且交平面β于a,
∴b′∥a,從而b∥a.
由a⊥γ,得b⊥γ.
例18 如果直線l,m與平面α、β、γ滿足:l=β∩ r,l∥α
,mα,和m⊥γ,那么必有( )
A.α⊥γ且l⊥m
B.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥m
D.α∥β且α⊥γ
解:∵mα,m⊥γ,
∴γ⊥α,
∵lγ,m⊥γ,
∴m⊥l.
即在題設(shè)的條件下必有γ⊥α且l⊥m.
應(yīng)選A.
例19 如圖1-37,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E ∈BB1,截面A1EC⊥側(cè)面AC1.
(1)求證:BE=EB1;
(2)若AA1=A1B1,求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角(銳角)的度數(shù) .
注意:在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容,使之成為(1)的完成證明,并解答(2).
證明:在截面A1EC內(nèi),過E作EG⊥A1C,G是垂足.
(Ⅰ)∵
∴EG⊥側(cè)面AC1,取AC的中點(diǎn)F,連結(jié)BF、FG,由AB=BC得BF⊥FC.
(Ⅱ)∵
∴BF⊥側(cè)面AC1,得BF∥EG,BF、EG確定一個(gè)平面,交側(cè)面AC1于FC.
(Ⅲ)∵
∴BF∥EG,四邊形BEGF是平行四邊形,BE=FG.
(Ⅳ)∵
∴FG∥AA1,ΔAA1C∽ΔFGC,
(Ⅴ)∵
∴FG=AA1=BB1,即BE=BB1,故BE=EB1.
解:(1)(Ⅰ)∵面A1EC⊥側(cè)面AC1,
(Ⅱ)∵而面ABC⊥側(cè)面AC1,
(Ⅲ)∵BE∥側(cè)面AC1,
(Ⅳ)∵BE∥AA1,
(Ⅴ)∵AF=FC.
(2)分別延長CE、C1B1交于點(diǎn)D,連結(jié)A1D.
∵EB1∥CC1,EB1=BB1=CC1,
∴DB1=DC1=B1C1=A1B1,
∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=60°
∠DA1B1=∠A1DB1= (180°-∠DB1A1)=30°
即DA1⊥A1C1
∵CC1⊥面A1C1B1,即A1C1在平面A1C1D上的射影,根據(jù)三垂線定理得DA1⊥A1C,
∴∠CA1C是所求二面角的平面角.
∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,∠A1C1C=90°,
∴∠CA1C1=45°,即所求二面角為45°.
例20 在空間中,下列命題成立的是( )
A.過平面α外的兩點(diǎn),必有且只有一個(gè)平面與平面α垂直
B.若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等,則直線l必平行于平面α
C.若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)多條直線垂直,則直線l必垂直于平面α
D.互相平行的兩條直線在一個(gè)平面內(nèi)的射影仍然是互相平行的兩條直線
E.若點(diǎn)P到三角形的三條邊的距離相等,則點(diǎn)P在該三角形所在平面內(nèi)的射影必然是該三角形的內(nèi)心
解:A不正確.若平面α外的兩點(diǎn)A、B使直線AB⊥α,則過A、B兩點(diǎn)且與α垂 直的平面有無數(shù)多個(gè).
B不正確.設(shè)l和α交于點(diǎn)O,在l上取OA=OB,則A、B到平面α等距但直線AB 不平行于平面α.
C不正確.設(shè)l斜交α于O,在α內(nèi)過O點(diǎn)作m⊥l,則α內(nèi)與m平行的無數(shù)多條 直線都平行于l,但l與α不垂直.
D不正確.若互相平行的兩直線a,b所確定的平面β⊥α,則a,b在α內(nèi)的 射影是一條直線.
E正確.由三垂線定理易證明它的正確性.
例21 已知二面角α-AB-β的平面角是銳角θ,α內(nèi)一點(diǎn)C到β的距離為3, 點(diǎn)C到棱的距離為4,那么tgθ的值等于( )
A. B. C. D.
解:如圖,CO⊥β于O,CD⊥AB于D,則CO=3,CD=4,∠CDO=θ,∠COD=90°.
∴tgθ=
=.
應(yīng)選C.
例22 下列命題中,錯誤的是( )
A.若一直線垂直于一平面,則此直線必垂直于這平面上所有的直線
B.若一個(gè)平面通過另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直
C.若一條直線垂直于一個(gè)平面的一條垂線,則此直線平行于這個(gè)平面
D.若平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,則它也和這條斜線垂直
解:B為兩面垂直的一個(gè)判定定理.
A為線面垂直的性質(zhì)定理.
C錯誤:設(shè)l⊥平面α,m∥l,若mα,則m∥α.
應(yīng)選C.
例23 下列四個(gè)命題中的真命題是( )
A.若直線l平面α內(nèi)兩條平行直線垂直,則l⊥α
B.若平面α內(nèi)兩條直線與平面β內(nèi)兩條直線分別平行,則α∥β
C.若平面α與直二角β-MN-r,棱MN交于點(diǎn)A,與二面角的面β,而r分別交于AB、AC,則∠BAC≤90°
D.以上三個(gè)命題都是假命題.
解:命題A不真
命題B不真;若這四條直線都平行,則有可能α∥β
命題C不真:
如圖
BC2=BB′2+BC′2
=BB′2+CC′2+B′C2
。紹B′2+CC′2+(B′A+C′A)2
。綛B′2+CC′2+B′A′2+C′A2
=(BB′2+B′A2)+(CC′2+C′A2)
=BA2+CA2
∴∠BAC>90°
應(yīng)選D.
[同步達(dá)綱練習(xí)]
(一)綜合例題賞析
例11 設(shè)a、b是兩條異面直線,那么下列四個(gè)命題中的假命題是( )
A.經(jīng)過直線a有且只有一個(gè)平面平行于直線b
B.經(jīng)過直線a有且只有一個(gè)平面垂直于直線b
C.存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個(gè)互相平行的平面
D.存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個(gè)互相垂直的平面
解:B是假命題,因?yàn)閷τ诋惷嬷本a、b,有時(shí)不存在過直線a且垂直于直線 b的平面.
如圖,直線a是圓柱體的軸線,M、N分別為上下底圓周上的點(diǎn)且MN∥a,令b為直線MN, 則a,b為異面直線.
過直線a的平面以直線a為軸旋轉(zhuǎn),它們均與b不垂直.
例12 已知異面直線a與b所成的角為50°,P為空間一定點(diǎn),則過點(diǎn)P與a、b 所成的角都是30°的直線有且僅有( )
A.1條 B.2條 C.3條 D .4條
解:如圖過點(diǎn)作PA∥a,PB∥b,則∠APB的異面直線a、b所成的平面角,由已知∠APB=50°.
作∠APB的平分線PO,任取O∈PO,作CO⊥平面APB,令CB⊥PA于A,CB⊥PB于B,則由三垂線
定理知,OA⊥PA于A,OB⊥PB于B.
考慮C點(diǎn)沿平面APB的垂線OC自O(shè)點(diǎn)出發(fā)向上移動,易知∠CPB∈(25°,90°),
∴存在唯一點(diǎn)C使∠CPB=∠CPA=30°.
同理在垂線CO的下方還存在對稱點(diǎn)C′,使∠C′PA=∠C′PB.
∴符合題設(shè)的直線有且只有兩條.應(yīng)選B.
例13 如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線BC1與直線AC( )
A.相交且垂直
B.相交但不垂直
C.異面且垂直
D.異面但不垂直
解:直線BC1和AC異面不垂直.
∵BC1∥AD1,
∴∠CAD1為異面直線AC,BC1所成的角.
在△CAD1中,CA=AD1=D1C.
∴∠CAD1=60°
即AC和BD1成60°角.
應(yīng)選D.
例14 設(shè)a、b是異面直線,那么( )
A.必然存在唯一的一個(gè)平面同時(shí)平行于直線a和b
B.必然存在唯一的一個(gè)平面同時(shí)垂直于直線a和b
C.過直線a存在唯一的一個(gè)平面平行于直線b
D.過直線a存在唯一的一個(gè)平面垂直于直線b
解:A不正確.因?yàn)榇怪庇诋惷嬷本a、b公垂線的任何一個(gè)平面都與a、b平行 .
B不正確.若a⊥α,且b⊥α,則a∥b,此與a、b異面矛盾.
C正確.
D不正確.有時(shí)過直線a的所有平面都與直線b不垂直.
∴應(yīng)選C.
(十)直線與平面的綜合問題
例10已知如圖,斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2,且AA1⊥A1C,AA1=A1C。
(1)求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大小。
(2)求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大小。
(3)求側(cè)棱B1B和側(cè)面A1ACC1的距離。
解 (1)作A1D⊥AC于D
由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥ABC
所以∠A1AD為A1A與面ABC所成的角
因AA1⊥A1C,AA1=A1C,
所以 ∠A1AD=45°為所求.
(2)作DE⊥AB于E,連結(jié)A1E,由A1D⊥面ABC得A1E⊥AB(三垂線定理)
則 ∠A1ED是面A1ABB1與面ABC所成的二面角的平面角.
由已知,AB⊥BC,得DE∥BC,又D是AC中點(diǎn),BC=2,AC=2
DE=1,AC=A1D=,tg∠A1ED==
故 ∠A1ED=60°為所求.
(3)作BF⊥AC于F,由面A1ACC1⊥面ABC,知BF⊥面A1ACC1
因 B1B∥面A1ACC1
BF的長是B1B和面A1ACC1的距離
在Rt△ABC中,AB==2
所以 BF=
(九)點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、直線與平面、平面與平面間的距離的定義及計(jì)算
例9 已知Rt△ABC中,∠A=90°,AB=a,AC=b,沿高AD折成直二面角(如圖).(1)判斷此時(shí)△ABC的形狀;(2)求D到平面ABC的距離.
解:(1)DH⊥平面ABC,因DA、DB、DC兩兩互相垂直,故H為△ABC的垂心(證明略),AE⊥BC,由cosθ=cosθ1cosθ2,得cos∠ABE=cos∠ABD ·cos∠DBC.
∵∠ABD和∠DBC分別為Rt△BDC的銳角,故0<cos∠ABD,cos∠DBC<1,
∴0<cos∠ABE<1,即∠ABC為銳角,
同理可證∠ABC、∠CAB均為銳角,∴△ABC為銳角三角形.
(2)解法一:設(shè)D到平面ABC的距離為x.∵VD-ABC=VA-BDC得xSABC=AD·S△BDC,
解出 x=.
解法二:作AE⊥BC,AD⊥平面DBC,故DE⊥BC.BC⊥平面ADE,平面ADE⊥平面ABC,作DH⊥AE ,則DH是D到平面ABC的距離(以點(diǎn)線距離代替點(diǎn)面距離).在Rt△ADE中,DH是斜邊AE上的高,解出
DH=.
(八)二面角
例8 如圖8(1),平面四邊形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°,∠C=135°,沿對 角線AC將四邊形折成直二面角(如圖8(2))
圖8(1)
(1)求證:平面ABD⊥平面BCD;
(2)求平面ABD與平面ACD所成的角;
(3)求C到平面ABD的距離。
證明 (1)因B-AC-D是直二面角,CD⊥AC,
故 CD⊥平面ABC.CD⊥AB,AB⊥BC
AB⊥平面BCD,AB平面ABD,
所以 平面ABD⊥平面BDC。
解 (2)如圖8(2)設(shè)M是AC的中點(diǎn),則BC⊥AC,BM⊥平面ACD。作BN⊥AD,則MN⊥AD(三垂線定 理的逆定理).∠BNM為二面角B-AD-C的平面角。MN=AM·sin∠CAD=a·=,MB=a.在Rt△BMN中,tg∠BNM==,
則 二面角B-AD-C是60°的二面角。
(3)由(1)知,平面ABD⊥平面BCD,
作CH⊥BD,則CH⊥平面ABD。
CH=a,故C到平面ABD的距離為a.
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