5. 某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同畝數(shù)的林木，但由于自然環(huán)境和人為因素的影響，每年都有相同畝數(shù)的土地沙化，具體情況為下表所示：

而一旦植完，則不會被沙化.

問：(1)每年沙化的畝數(shù)為多少？

　 (2)到那一年可綠化完全部荒沙地？

4.　 設(shè)數(shù)列的前n項和為，令，稱為數(shù)列，，……，的“理想數(shù)”，已知數(shù)列，，……，的“理想數(shù)”為2004，那么數(shù)列2， ，，……，的“理想數(shù)”為

(A) 2002　　　　　 (B) 2004　　　　　　 (C) 2006　　　　　　　　 (D) 2008

3.　2003年12月，全世界爆發(fā)＂禽流感＂，科學(xué)家經(jīng)過深入的研究，終于發(fā)現(xiàn)了一種細(xì)菌M在殺死＂禽流感＂病毒N的同時能夠自身復(fù)制．已知1個細(xì)菌M可以殺死1個病毒N，并且生成2個細(xì)菌M，那么1個細(xì)菌M和2048個＂禽流感＂病毒N最多可生成細(xì)菌M的數(shù)值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

(A)1024　　　　　 (B)2048　　　 (C) 2049　　　 (D)無法確定

2.　 若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項之和為，前項之積為，前項倒數(shù)之和為，則　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

(A)=　　　 (B)＞　　　 　(C)　 (D)＞

10. (1)假設(shè)有兩個不同的點(，)，(，)對應(yīng)同一函數(shù)，即與相同，

即 對一切實數(shù)x均成立。

特別令x=0，得a=c；令，得b=d這與(a，b)，(c，d)是兩個不同點矛盾，假設(shè)不成立.

故不存在兩個不同點對應(yīng)同函數(shù)。

(2)當(dāng)時，可得常數(shù)a₀，b₀，使

。

由于為常數(shù)，設(shè)是常數(shù).

從而。

(3)設(shè)，由此得

(，)

在映射F下，的原象是(m，n)，則M₁的原象是

消去t得，即在映射F下，M₁的原象是以原點為圓心，為半徑的圓．

第二講　　　　　 數(shù)列

陜西特級教師 　　　安振平

l　　　　 高考風(fēng)向標(biāo)

數(shù)列的概念．等差數(shù)列及其通項公式、前n項和公式；等比數(shù)列及其通項公式、前n項和公式．?dāng)?shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用．通項與前n項和之間的關(guān)系是高考常考的熱點內(nèi)容，遞推數(shù)列在各地的高考中閃亮登場．

l　　　　 典型題選講

例1　若數(shù)列{a_n}滿足若，則的值為　　　　 (　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

　　　 講解　逐步計算，可得

,

這說明數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列，而, 所以．應(yīng)選B．

　　　 點評　分段數(shù)列問題是一種新問題，又涉及到周期數(shù)列，顯示了以能力立意，題活而不難的特色．

例2　在等比數(shù)列{a_n}中，前n項和為S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列，則a_m, a_m+2, a_m+1成等差數(shù)列.

　 (1)寫出這個命題的逆命題；

(2)判斷逆命題是否為真，并給出證明.

講解　(1)逆命題：在等比數(shù)列{a_n}中，前n項和為S_n，若a_m, a_m+2, a_m+1成等差數(shù)列，則 S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列.

　 (2)設(shè){a_n}的首項為a₁，公比為q

　　　　 由已知得2a_m+2= a_m + a_m+1　　　 ∴2a₁q^m+1=a₁+a₁q^m

　　　　 ∵a₁≠0　 q≠0 ,

∴2q²－q－1=0 ,

　 ∴q=1或q=－.

當(dāng)q=1時，

∵S_m=ma₁， S_m+2= (m+2)a₁，S_m+1= (m+1)a₁，

∴S_m+S_m+1≠2 S_m+2,

　 ∴S_m，S_m+2，S_m+1不成等差數(shù)列.

當(dāng)q=－時,

2 S_m+2=,

∴S_m+S_m+1=2 S_m+2 ,　　　　　　

∴S_m，S_m+2，S_m+1成等差數(shù)列．

綜上得：當(dāng)公比q=1時，逆命題為假；

　　　　 當(dāng)公比q≠1時，逆命題為真．

點評 對公比進(jìn)行分類是本題解題的要害所在，問題好在分類，活在逆命題亦假亦真二者兼顧，可謂是一道以知識呈現(xiàn)、能力立意的新穎試題．

例3　設(shè)數(shù)列{a_n}前n的項和為 S_n，且其中m為常數(shù)，

　 (1)求證：{a_n}是等比數(shù)列；

　 (2)若數(shù)列{a_n}的公比滿足q=f(m)且，為等差數(shù)列，并求．

講解(1)由，得

兩式相減，得

是等比數(shù)列．

點評　為了求數(shù)列的通項，用取＂倒數(shù)＂的技巧，得出數(shù)列的遞推公式，從而將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題．

例4　設(shè)數(shù)列的前n項和為S_n，若是首項為S₁各項均為正數(shù)且公比為q的等比數(shù)列.

　　 (1)求數(shù)列的通項公式(用S₁和q表示)；

　　 (2)試比較的大小，并證明你的結(jié)論.

　　　 講解　(1)∵是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，

∴．

當(dāng)n=1時，a₁=S₁；　

當(dāng)．

∴

(2)當(dāng)n=1時，

∴．

∵

①當(dāng)q=1時，

②當(dāng)

③當(dāng)

綜上以上，我們可知：當(dāng)n=1時，．當(dāng)

若　 若

點評　數(shù)列與比較大小的綜合是高考命題的一個老話題，我們可以找到較好的高考真題．本題求解當(dāng)中用到與之間的關(guān)系式：

例5　已知數(shù)列滿足>0，且對一切n∈N*，有，

(1) 求證：對一切n∈N*，有；

(2) 求數(shù)列的通項公式；

(3) 求證：．

講解 　(1)　由　　　　　　 ①

得　　　　　　　　　 ②

②-①得　　=(S_n+1+S_n)(S_n+1-S_n)=(2 S_n+a_n+1) a_n+1

∵ a_n+1 >0，　

　∴ ．　

(2)　　　 由，得

　(n≥2)，

兩式相減，得

(a_n+1+ a_n)( a_n+1 - a_n)= a_n+1+ a_n，

∵a_n+1+ a_n >0，

∴a_n+1 - a_n =1．(n≥2)

當(dāng)n=1，2時易得，a₁=1，a₂=2，∴a_n+1 - a_n =1(n≥1) ．

從而{ a_n}是等差數(shù)列，其首項為a₁=1，公差d=1，故a_n=n ．

(3)　

　點評　關(guān)于數(shù)列不等式的證明，常用的技巧是放縮法，而放縮應(yīng)特別注意其適度性，不可過大，也不可過�。�

例6　 如圖,一粒子在區(qū)域上運動,在第一秒內(nèi)它從原點運動到點,接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒移動一個單位長度．

(1)設(shè)粒子從原點到達(dá)點時，所經(jīng)過的時間分別為，試寫出的通相公式；

(2)求粒子從原點運動到點時所需的時間；

(3)粒子從原點開始運動，求經(jīng)過2004秒后，它所處的坐標(biāo)．

講解　(1) 由圖形可設(shè)，當(dāng)粒子從原點到達(dá)時，明顯有

…　　　　　　　…　　　　　　　

　 ∴＝,

　　 .

,

．

,

,

即.　　　　　　　　　　　　　　　

(2)有圖形知，粒子從原點運動到點時所需的時間是到達(dá)點所經(jīng)過得時間 再加(44－16)＝28秒，所以秒．

(3)由2004，解得，取最大得n=44,

經(jīng)計算，得＝1980<2004，從而粒子從原點開始運動，經(jīng)過1980秒后到達(dá)點，再向左運行24秒所到達(dá)的點的坐標(biāo)為(20，44)．

點評　從起始項入手，逐步展開解題思維．由特殊到一般，探索出數(shù)列的遞推關(guān)系式，這是解答數(shù)列問題一般方法，也是歷年高考命題的熱點所在．

例7　已知數(shù)列的前項和滿足.

(1)寫出數(shù)列的前三項；

(2)求數(shù)列的通項公式；

(3)證明：對任意的整數(shù)，有 .

講解　(1)為了計算前三項的值，只要在遞推式中，對取特殊值，就可以消除解題目標(biāo)與題設(shè)條件之間的差異．

　由

由

由

(2)為了求出通項公式，應(yīng)先消除條件式中的．事實上

當(dāng)時，有

即有　

從而　

　 ……　

接下來，逐步迭代就有

經(jīng)驗證a₁也滿足上式，故知

其實，將關(guān)系式和課本習(xí)題作聯(lián)系，容易想到：這種差異的消除，只要對的兩邊同除以，便得

　　　　　．

令就有

，

于是　　　　 ，

這說明數(shù)列是等比數(shù)列，公比　首項，從而，得

　　　，

即　　，

　　　 故有

(3)由通項公式得

當(dāng)且n為奇數(shù)時，　

當(dāng)為偶數(shù)時，

當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為上面的情景

故任意整數(shù)m>4，有

點評　本小題2004年全國(舊教材版)高考理科壓軸試題．主要考查數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和以及不等式的證明．考查靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．當(dāng)中的第2小題，顯然與課本上的問題有著相同的本質(zhì)．而第3小題又有著明顯的高等數(shù)學(xué)的背景，體現(xiàn)了知識與技能的交匯，方法與能力的提升，顯示了較強(qiáng)的選拔功能．

l　　　　 針對性演練

1　某人要買房，隨著樓層的升高，上下樓耗費的精力增多，因此不滿意度升高，當(dāng)住第n層樓時，上下樓造成的不滿意度為n，但高處空氣清新，嘈雜音較小，環(huán)境較為安靜，因此隨樓層升高環(huán)境不滿意度降低，設(shè)住第n層樓時，環(huán)境不滿意度為，則此人應(yīng)選(　　 )

(A)　 1樓　　　　　　 (B) 2樓　　　　 (C)　 3樓　　　　　　 (D)　 4樓

9．(I)令，

依條件(3)可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0.

又由條件(1)得f(0) ≥0，則f(0)=0.

(Ⅱ)任取，可知,

則,

即，故

于是當(dāng)0≤x≤1時，有f(x)≤f(1)=1

因此，當(dāng)x=1時，f(x)有最大值為1，

(Ⅲ)證明：

研究①當(dāng)時，f(x) ≤1<2x

②當(dāng)時，

首先，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴.

顯然，當(dāng)時，

成立.

假設(shè)當(dāng)時，有成立，其中k＝1，2，…

那么當(dāng)時，

可知對于，總有，其中n=1，2，…

而對于任意，存在正整數(shù)n，使得，

此時,

③當(dāng)x=0時，f(0)=0≤2x..

綜上可知，滿足條件的函數(shù)f(x)，對x∈[0，1]，總有f(x) ≤2x成立.

7．450．8．略．

1．D．2．D．3．C．4．A．5．D．6．，，　()．

10. 設(shè)、為常數(shù)，：把平面上任意一點

　(，)映射為函數(shù)

　 (1)證明：不存在兩個不同點對應(yīng)于同一個函數(shù)；

　 (2)證明：當(dāng)時，，這里t為常數(shù)；

　 (3)對于屬于M的一個固定值，得，在映射F的作用下，M₁作為象，求其原象，并說明它是什么圖象？

答案：

9．已知定義域為[0，1]的函數(shù)f(x)同時滿足：

(1)對于任意x∈[0，1]，總有f(x)≥0；

(2)f(1)=1

(3)若，，，則有

(Ⅰ)試求f(0)的值；

(Ⅱ)試求函數(shù)f(x)的最大值；

(Ⅲ)試證明：滿足上述條件的函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x，都有f(x)≤2x..