右式=+1,∴≤1+≤,命題成立.　　　　2分

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,即

證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),左式=1+,

18.(本小題滿(mǎn)分10分)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+≤1+++…+≤+n(n∈N*).

分析 本題考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.合理運(yùn)用歸納假設(shè)后,向目標(biāo)靠攏的過(guò)程中,可以利用證明不等式的一切方法去證明.

6分

所以,當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.

根據(jù)(1)、(2),可知猜想對(duì)任何n∈N*都成立.        8分

那么, +++…++

+++…+=,     4分

右邊===,

猜想成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)猜想成立,即

(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=S₁=,

可以看到,上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項(xiàng)數(shù)n一致,分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1.于是可以猜想.                    2分

下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.

S₄=+=.