22+42+62+…+(2k)2=k(k+1)(2k+1), 2分
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
證明 (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=22=4,右邊=×1×2×3=4,
∴左邊=右邊,即n=1時(shí),命題成立. 1分
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,即
15(本小題滿(mǎn)分8分)用數(shù)學(xué)歸納法證明22+42+62+…+(2n)2=n(n+1)(2n+1).
分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是分清等式兩邊的構(gòu)成情況,合理運(yùn)用歸納假設(shè).
答案 1+++…+<(n≥2)
14.觀察下列式子:1+<,1++<,1+++<,…,則可以猜想其結(jié)論為 .
解析 解答本類(lèi)題的關(guān)鍵是分清所給式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),確定出不等式右邊的項(xiàng)中分子、分母同項(xiàng)數(shù)的關(guān)系.
分析 分清被除數(shù)的構(gòu)成情況是解決本題的關(guān)鍵.當(dāng)自變量取n時(shí),被除數(shù)是5n項(xiàng)的和,其指數(shù)從0依次增加到5n-1.
解 當(dāng)n=k+1時(shí),被除數(shù)為1+2+22+…+25k-1+25k+25k+1+…+25k+4,
從n=k到n=k+1增加的項(xiàng)為25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4.
答案 25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4
13.★在用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+…+25n-1(n∈N*)是31的倍數(shù)的命題時(shí),從k到k+1需要添加的項(xiàng)是 .
12.用數(shù)學(xué)歸納法證明n∈N*時(shí),34n+2+52n+1被14整除的過(guò)程中,當(dāng)n=k+1時(shí),對(duì)34(k+1)+2+52(k+1)+1可變形為 .
分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題時(shí),可把n=k+1時(shí)的被除式變形為一部分能利用歸納假設(shè)的形式,另一部分能被除式整除的形式.
解34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+6+52k+3=34k+6+34?52k+1+52k+3-34?52k+1=34(34k+2+52k+1)-56?52k+1.
答案 81(34k+2+52k+1)-56?52k+1
11.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1且n∈N*)”,在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊計(jì)算所得的結(jié)果是.
解析 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.用數(shù)學(xué)歸納法證題的前提是分清等式兩邊的構(gòu)成情況.就本題而言,它的左邊是按a的升冪排列的,共有(n+2)項(xiàng),故當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí),共有1+2=3項(xiàng),它們的和應(yīng)是1+a+a2.
答案 1+a+a2
由2->,知<,n最小取8.
答案 B
第Ⅱ卷(非選擇題共60分)
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