10分

(6)

解 (1)a_ij=    (2)2^k   (3)2ⁿ⁺¹-1   (4)11ⁿ    (5)B        5分

(6)在第3斜列中,前5個(gè)數(shù)依次為1、3、6、10、15;第4斜列中,第5個(gè)數(shù)為35.顯然,1+3+6+10+15=35.事實(shí)上,一般地有這樣的結(jié)論:

第m斜列中(從右上到左下)前k個(gè)數(shù)之和,一定等于第m+1斜列中第k個(gè)數(shù).

試用含有m、k(m、k∈N*)的數(shù)學(xué)公式表示上述結(jié)論并證明其正確性.

數(shù)學(xué)公式為                   .

證明:                        .

11階楊輝三角

試回答:(其中第(1)~(5)小題只需直接給出最后的結(jié)果,無需求解過程)

(1)記第i(i∈N*)行中從左到右的第j(j∈N*)個(gè)數(shù)為a_ij,則數(shù)列{a_ij}的通項(xiàng)公式為          ,

n階楊輝三角中共有           個(gè)數(shù);

(2)第k行各數(shù)的和是;

(3)n階楊輝三角的所有數(shù)的和是;

(4)將第n行的所有數(shù)按從左到右的順序合并在一起得到的多位數(shù)等于;

(5)第p(p∈N*,且p≥2)行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被p整除,則整數(shù)p一定為(   )

A.奇數(shù)                B.質(zhì)數(shù)              C.非偶數(shù)                D.合數(shù)

19.★(本小題滿分10分)楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家.他的數(shù)學(xué)著作頗多,他編著的數(shù)學(xué)書共5種21卷,在他的著作中收錄了不少現(xiàn)已失傳的古代數(shù)學(xué)著作中的算題和算法.他的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點(diǎn)是在計(jì)算技術(shù)方面.楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān),楊輝三角中蘊(yùn)涵了許多優(yōu)美的規(guī)律.古今中外,許多數(shù)學(xué)家如賈憲、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過,并將研究結(jié)果應(yīng)用于其他工作.下圖是一個(gè)11階的楊輝三角:

又1+++…++++…+＜+k+2k?=+(k+1),　　8分

即n=k+1時(shí),命題成立.

由(1)、(2)可知,命題對(duì)所有n∈N*都成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

1+++…++++…+＞1++2^k?=1+.　　　6分

1+≤1+++…+≤+k,　　　　4分

則當(dāng)n=k+1時(shí),