31、(2009年四川卷)25．如圖所示，輕彈簧一端連于固定點(diǎn)O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連接一帶電小球P，其質(zhì)量m=2×10^-2 kg，電荷量q=0.2 C。將彈簧拉至水平后，以初速度V₀=20 m/s豎直向下射出小球P，小球P到達(dá)O點(diǎn)的正下方O₁點(diǎn)時(shí)速度恰好水平，其大小V=15 m/s。.若O、O₁相距R=1.5 m,小球P在O₁點(diǎn)與另一由細(xì)繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10^-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細(xì)繩，同時(shí)在空間加上豎直向上的勻強(qiáng)電場E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的弱強(qiáng)磁場。此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r=0.5 m的圓周運(yùn)動(dòng)。小球P、N均可視為質(zhì)點(diǎn)，小球P的電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力，取g=10 m/s²。那么，

(1)彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？

(2)請(qǐng)通過計(jì)算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時(shí)刻具有相同的速度。

　(3)若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時(shí)刻具有相同速度的前提下，請(qǐng)推導(dǎo)出r的表達(dá)式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運(yùn)動(dòng)速度與水平方向的夾角)。

[解析](1)設(shè)彈簧的彈力做功為W，有：　

　　　　　　①

代入數(shù)據(jù)，得：W＝J　　　　　�、�

(2)由題給條件知，N碰后作平拋運(yùn)動(dòng)，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷。設(shè)P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，并令水平向右為正方向，有： 　　③

而： 　　　　　　�、�

若P、N碰后速度同向時(shí)，計(jì)算可得V<v₁，這種碰撞不能實(shí)現(xiàn)。P、N碰后瞬時(shí)必為反向運(yùn)動(dòng)。有： 　　　　　⑤

P、N速度相同時(shí)，N經(jīng)過的時(shí)間為，P經(jīng)過的時(shí)間為。設(shè)此時(shí)N的速度V₁的方向與水平方向的夾角為，有：

　　　　　　　　　　 ⑥

　　　　�、�

代入數(shù)據(jù)，得： 　　　　�、�

對(duì)小球P，其圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，有：

　　　　　　　　　 ⑨

經(jīng)計(jì)算得： ＜T，

P經(jīng)過時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角為，有： 　⑩

當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，P、N的速度相同，如圖可知，有：

聯(lián)立相關(guān)方程得：

比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同。

當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，P、N的速度相同，同樣由圖，有： ，

同上得： ，

比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻也不可能相同。

(3)當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同， ，

再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：

當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同，

同理得： ，

考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，有:

(給定的B、q、r、m、等物理量決定n的取值)

30、(2009年浙江卷)24．某校物理興趣小組決定舉行遙控塞車比賽。比賽路徑如圖所示，賽車從起點(diǎn)A出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)L后，出B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，并能越過壕溝。已知賽車質(zhì)量m＝0.1kg，通電后以額定功率ρ＝1.5W工作，進(jìn)入豎直圓軌道前受到的阻值為0.3N，隨后在運(yùn)動(dòng)中受到的阻力均可不計(jì)。圖中L＝10.00m，R=0.32m，h＝1.25m,S＝1.50m。問：要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)至少工作多長時(shí)間？(取g＝10 m/s²)

答案2.53s

[解析] 設(shè)賽車越過壕溝需要的最小速度為v₁，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

解得　　　　　

設(shè)賽車恰好越過圓軌道，對(duì)應(yīng)圓軌道最高點(diǎn)的速度為v₂，最低點(diǎn)的速度為v₃，由牛頓第二定律及機(jī)械能守恒定律

解得　　 　　　　　　　　　m/s

通過分析比較，賽車要完成比賽，在進(jìn)入圓軌道前的速度最小應(yīng)該是

　　　　　　　　　　　　　 m/s

設(shè)電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間至少為t，根據(jù)功能原理

由此可得　　　　　　　　　 t=2.53s

29、(2009年福建卷)20．如圖所示，射擊槍水平放置，射擊槍與目標(biāo)靶中心位于離地面足夠高的同一水平線上，槍口與目標(biāo)靶之間的距離s=100 m，子彈射出的水平速度v=200m/s，子彈從槍口射出的瞬間目標(biāo)靶由靜止開始釋放，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度g為10 m/s²，求：

(1)從子彈由槍口射出開始計(jì)時(shí)，經(jīng)多長時(shí)間子彈擊中目標(biāo)靶？

(2)目標(biāo)靶由靜止開始釋放到被子彈擊中，下落的距離h為多少？

答案(1)0.5s(2)1.25m

[解析](1)子彈做平拋運(yùn)動(dòng)，它在水平方向的分運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)子彈經(jīng)t時(shí)間集中目標(biāo)靶，則

　　 t=

　　 代入數(shù)據(jù)得

　　 t=0.5s

　　 (2)目標(biāo)靶做自由落體運(yùn)動(dòng)，則h=

代入數(shù)據(jù)得 h=1.25m

28、(2009年安徽卷)24．過山車是游樂場中常見的設(shè)施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑R₁=2.0m、R₂=1.4m。一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小球(視為質(zhì)點(diǎn))，從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v₀=12.0m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距L₁=6.0m。小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取g=10m/s²，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字。試求

　 (1)小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大��；

　 (2)如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應(yīng)是多少；

　 (3)在滿足(2)的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R₃應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)的距離。

答案：(1)10.0N；(2)12.5m

(3) 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，

[解析](1)設(shè)小于經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₁根據(jù)動(dòng)能定理

　　　　　　　 　　　①

　 小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對(duì)它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律

　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

由①②得　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

(2)設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v₂，由題意

　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　　　　　　 　　　　　　　　⑤

由④⑤得　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

(3)要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：

I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第三個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v₃，應(yīng)滿足

　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　　　　　　　 　　　　　　　　⑧

由⑥⑦⑧得　　　　　　

II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R₃，根據(jù)動(dòng)能定理

解得　　　　　　　　　

為了保證圓軌道不重疊，R₃最大值應(yīng)滿足　

解得　　　　　　　 R₃=27.9m

綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件

或　　　　　　　

當(dāng)時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L′，則

當(dāng)時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L〞，則

27、(2009年天津卷)12．2008年12月，天文學(xué)家們通過觀測的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中央的黑洞“人馬座A*”的質(zhì)量與太陽質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，有一星體S2繞人馬座A*做橢圓運(yùn)動(dòng)，其軌道半長軸為9.5010²天文單位(地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個(gè)天文單位)，人馬座A*就處在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。觀測得到S2星的運(yùn)行周期為15.2年。

(1)　　 若將S2星的運(yùn)行軌道視為半徑r=9.5010²天文單位的圓軌道，試估算人馬座A*的質(zhì)量M_A是太陽質(zhì)量M_s的多少倍(結(jié)果保留一位有效數(shù)字)；

(2)　　 黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為m的粒子具有勢能為E_p=-G(設(shè)粒子在離黑洞無限遠(yuǎn)處的勢能為零)，式中M、R分別表示黑洞的質(zhì)量和半徑。已知引力常量G=6.710^-11N·m²/kg²，光速c=3.010⁸m/s，太陽質(zhì)量M_s=2.010³⁰kg，太陽半徑R_s=7.010⁸m，不考慮相對(duì)論效應(yīng)，利用上問結(jié)果，在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)求人馬座A*的半徑R_A與太陽半徑之比應(yīng)小于多少(結(jié)果按四舍五入保留整數(shù))。

答案：(1)，(2)

[解析](1)S2星繞人馬座A^*做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由人馬座A^*對(duì)S2星的萬有引力提供，設(shè)S2星的質(zhì)量為m_S2，角速度為ω，周期為T，則

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

設(shè)地球質(zhì)量為m_E，公轉(zhuǎn)軌道半徑為r_E，周期為T_E，則　 　�、�

綜合上述三式得

　　　 式中　　　　 T_E=1年　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④

　　　　　　　　 r_E=1天文單位　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

　　　 代入數(shù)據(jù)可得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　　 (2)引力對(duì)粒子作用不到的地方即為無限遠(yuǎn)，此時(shí)料子的勢能為零�！疤幱诤诙幢砻娴牧Ｗ蛹词挂怨馑龠\(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛”，說明了黑洞表面處以光速運(yùn)動(dòng)的粒子在遠(yuǎn)離黑洞的過程中克服引力做功，粒子在到達(dá)無限遠(yuǎn)之前，其動(dòng)能便減小為零，此時(shí)勢能仍為負(fù)值，則其能量總和小于零，則有　 　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

依題意可知　　　 ，

可得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

代入數(shù)據(jù)得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

26、(2009年天津卷)11．如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy位于豎直平面內(nèi)，在水平的x軸下方存在勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場，磁場的磁感應(yīng)為B,方向垂直xOy平面向里，電場線平行于y軸。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點(diǎn)水平向右拋出，經(jīng)x軸上的M點(diǎn)進(jìn)入電場和磁場，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從x軸上的N點(diǎn)第一次離開電場和磁場，MN之間的距離為L，小球過M點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸的方向夾角為。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求

(1)　　 電場強(qiáng)度E的大小和方向；

(2)　　 小球從A點(diǎn)拋出時(shí)初速度v₀的大��；

(3)　　 A點(diǎn)到x軸的高度h.

答案：(1)，方向豎直向上　 (2)　　　 (3)

[解析](1)小球在電場、磁場中恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明電場力和重力平衡(恒力不能充當(dāng)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力)，有　　　　　　　　 　　　　　　　　①

　　　　　　　　 ②

重力的方向豎直向下，電場力方向只能向上，由于小球帶正電，所以電場強(qiáng)度方向豎直向上。

(2)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，O′為圓心，MN為弦長，，如圖所示。設(shè)半徑為r，由幾何關(guān)系知　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　③

小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力白日提供，設(shè)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v，有　　　　　 　　　　　　　　④

　　　 由速度的合成與分解知 　　　　　　　�、�

由③④⑤式得　　　　 　　　　　�、�

(3)設(shè)小球到M點(diǎn)時(shí)的豎直分速度為v_y，它與水平分速度的關(guān)系為

　　　　　　　　　　　 　　　　　　�、�

由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律　 　　　　　　　　⑧

由⑥⑦⑧式得　　　 　　　　　　　　�、�

25、(2009年北京卷)22．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。

(1)推到第一宇宙速度v₁的表達(dá)式；

(2)若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T。

答案：(1)(2)

[解析](1)設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，

在地球表面附近滿足

得　　 　　　�、�

衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于它受到的萬有引力

　 　　　②

①式代入②式，得到

(2)考慮①式，衛(wèi)星受到的萬有引力為

　　　　 　　 ③

由牛頓第二定律 　　 ④

③、④聯(lián)立解得

24、(2009年全國卷Ⅱ)26．如圖，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點(diǎn)，在P點(diǎn)正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有石油，假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為ρ石油密度遠(yuǎn)小于ρ，可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度(正常值)沿豎直方向，當(dāng)存在空腔時(shí)，該地區(qū)重力加速度的大小和方向會(huì)與正常情況有微小偏高，重力回速度在原豎直方向(即PO方向)上的投影相對(duì)于正常值的偏離叫做“重力加速度反�！�。為了探尋石油區(qū)域的位置和石油儲(chǔ)量，常利用P點(diǎn)到附近重力加速度反�，F(xiàn)象，已知引力常數(shù)為G

(1)設(shè)球形空腔體積為V，球心深度為d(遠(yuǎn)小于地球半徑)，求空腔所引起的Q點(diǎn)處的重力加速度反常

(2)若在水平地面上半徑L的范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)：重力加速度反常值在δ與kδ(k>1)之間變化,且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半為L的范圍的中心，如果這種反常是于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積

答案(1)

(2),

[解析](1)如果將近地表的球形空腔填滿密度為的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反�？赏ㄟ^填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力………①來計(jì)算，式中的m是Q點(diǎn)處某質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量,M是填充后球形區(qū)域的質(zhì)量,……………②

而r是球形空腔中心O至Q點(diǎn)的距離………③在數(shù)值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點(diǎn)處重力加速度改變的大小。Q點(diǎn)處重力加速度改變的方向沿OQ方向，重力加速度反常是這一改變?cè)谪Q直方向上的投影………④聯(lián)立以上式子得

,…………⑤

(2)由⑤式得,重力加速度反常的最大值和最小值分別為……⑥

……………⑦由提設(shè)有、……⑧

聯(lián)立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為

,

23、(2009年廣東文科基礎(chǔ))59．關(guān)于萬有引力及其應(yīng)用，下列表述正確的是

A．人造地球衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)不受地球引力作用

B．兩物體間的萬有引力跟它們質(zhì)量的乘積成反比

C．兩物體間的萬有引力跟它們的距離成反比

D．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)所必須具有的速度，稱為第一宇宙速度

答案：D

[解析]重力是由于地球吸引而是物體受到的力，人造地球衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)也受到地球的吸引，A錯(cuò)；根據(jù)萬有引力公式F＝可知兩物體間的萬有引力跟它們質(zhì)量的乘積成正比、跟它們之間距離的平方成反比，B、C錯(cuò)；近地衛(wèi)星的速度等于第一宇宙速度，D對(duì)。

22、(2009年廣東文科基礎(chǔ))57．如圖8所示，用一輕繩系一小球懸于O點(diǎn)�，F(xiàn)將小球拉至水平位置，然后釋放，不計(jì)阻力。小球下落到最低點(diǎn)的過程中，下列表述正確的是

A．小球的機(jī)械能守恒

B．小球所受的合力不變

C．小球的動(dòng)能不斷減小

D．小球的重力勢能增加

答案：A

[解析]小球釋放后作圓周運(yùn)動(dòng)，受到細(xì)繩指向圓心的拉力F和豎直向下的大小不變的重力G，因?yàn)镕始終指向O點(diǎn)，則合力始終變化，B錯(cuò)；F始終和速度垂直、不做功，則小球只有重力做功、機(jī)械能守恒，A對(duì)；小球的重力作正功，應(yīng)用動(dòng)能定理可知小球動(dòng)能增加，C錯(cuò)；小球向下運(yùn)動(dòng)，位置降低(或重力作正功)、重力勢能減小，D錯(cuò)。