Question

4．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（　�。�

• A． y=-$\frac{1}{x}$
• B． y=log₂（x-1）
• C． y=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，x≥0}\\{-{3}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$
• D． y=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性分別判斷即可．

解答 解：對(duì)于A：x≠0，在定義域內(nèi)不存在單調(diào)性；
對(duì)于B：x＞1，不是奇函數(shù)；
對(duì)于C：定義域是R，且遞增，但是函數(shù)不是奇函數(shù)；
對(duì)于D：由x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞0，解得：x∈R，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
由f（-x）=ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln$\frac{1}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}}$=-ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$=-f（x），
y=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）是增函數(shù)，
故函數(shù)y=f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）遞增且是奇函數(shù)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性問(wèn)題，考查指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．