Question

13．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=（x+2）e^-x-2（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．
（Ⅰ） 當(dāng)x＞0時(shí)，求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 若x∈[0，2]時(shí)，方程f（x）=m有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的解析式即可．
（Ⅱ） 通過(guò)當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，求出函數(shù)的零點(diǎn)，極值，然后求解實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ） 當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=（x+2）e^-x-2，
當(dāng)x＞0時(shí)，則-x＜0時(shí)，f（-x）=（-x+2）e^x-2，
由于f（x）奇函數(shù)，則f（x）=-f（-x）=-[（-x+2）e^x-2]，
故當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（x-2）e^x+2．（6分）
（Ⅱ） 當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0．
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，f（x）=（x-2）e^x+2，f'（x）=（x-1）e^x，由f'（x）=0，得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
在（1，2）上單調(diào)遞增．則f（x）在x=1處取得極小值f（1）=2-e，（10分）
又f（0）=0，f（2）=2，故當(dāng)0＜x≤2時(shí)，f（x）∈[2-e，2]．
綜上，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）∈[2-e，2]，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2-e，2]．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，考查分類討論思想的應(yīng)用，是中檔題．