遼寧省大連23中2009年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈5：

應(yīng)用型問題

    數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題是歷年高考命題的主要題型之一, 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問題的要害是深刻理解題意,學(xué)會(huì)文字語言向數(shù)學(xué)的符號(hào)語言的翻譯轉(zhuǎn)化,這就需要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,這當(dāng)中,函數(shù),數(shù)列,不等式，排列組合是較為常見的模型,而三角,立幾,解幾等模型也應(yīng)在復(fù)課時(shí)引起重視.

    例1某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天定時(shí)開放健身房和娛樂室。據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，每次去健身房的人有10%下次去娛樂室，而在娛樂室的人有20%下次去健身房.請(qǐng)問，隨著時(shí)間的推移，去健身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)定？

講解: 引入字母,轉(zhuǎn)化為遞歸數(shù)列模型.

設(shè)第n次去健身房的人數(shù)為an，去娛樂室的人數(shù)為bn，則.

.

，于是

即      .

.故隨著時(shí)間的推移，去健身房的人數(shù)穩(wěn)定在100人左右.

上述解法中提煉的模型, 使我們聯(lián)想到了課本典型習(xí)題（代數(shù)下冊(cè)P.132第34題）

已知數(shù)列的項(xiàng)滿足

           

其中，證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

 

有趣的是, 用此模型可以解決許多實(shí)際應(yīng)用題, 特別, 2002年全國(guó)高考解答題中的應(yīng)用題(下文例9)就屬此類模型.

    例2 某人上午7時(shí)乘摩托艇以勻速V千米/小時(shí)（4≤V≤20）從A港出發(fā)前往50千米處的B港，然后乘汽車以勻速W千米/小時(shí)（30≤W≤100）自B港向300千米處的C市駛?cè)�，在同一天�?6時(shí)至21時(shí)到達(dá)C市, 設(shè)汽車、摩托艇所需的時(shí)間分別是x小時(shí)、y小時(shí)，若所需經(jīng)費(fèi)元，那么V、W分別為多少時(shí)，所需經(jīng)費(fèi)最少？并求出這時(shí)所花的經(jīng)費(fèi).

    講解: 題中已知了字母, 只需要建立不等式和函數(shù)模型進(jìn)行求解.

由于又

則z最大時(shí)P最小.

作出可行域，可知過點(diǎn)（10，4）時(shí), z有最大值38，

    ∴P有最小值93，這時(shí)V=12.5，W=30.

    視這是整體思維的具體體現(xiàn), 當(dāng)中的換元法是數(shù)學(xué)解題的常用方法.

    例3 某鐵路指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后將有一場(chǎng)超歷史記錄的大暴雨，為確保萬無一失，指揮部決定在24小時(shí)內(nèi)筑一道歸時(shí)堤壩以防山洪淹沒正在緊張施工的遂道工程。經(jīng)測(cè)算，其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20輛翻斗車同時(shí)作業(yè)24小時(shí)。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘有一輛車到達(dá)并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問24小時(shí)內(nèi)能否完成防洪堤壩工程？并說明理由.

講解: 引入字母, 構(gòu)建等差數(shù)列和不等式模型.

由20輛車同時(shí)工作24小時(shí)可完成全部工程可知，每輛車，每小時(shí)的工作效率為，設(shè)從第一輛車投入施工算起，各車的工作時(shí)間為a1，a2，…, a25小時(shí)，依題意它們組成公差（小時(shí)）的等差數(shù)列，且

，化簡(jiǎn)可得.

解得.

可見a1的工作時(shí)間可以滿足要求，即工程可以在24小時(shí)內(nèi)完成.

對(duì)照此題與2002年全國(guó)高考文科數(shù)學(xué)解答題中的應(yīng)用題, 你一定會(huì)感覺二者的解法是大同小異的. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就需要這種將舊模式中的方法遷移為解答新題的有用工具, 這要求你不斷的聯(lián)想, 力求尋找恰當(dāng)?shù)慕忸}方案.

    例4 某學(xué)校為了教職工的住房問題，計(jì)劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費(fèi)為2388元/m2，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍.經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一、二層的建筑費(fèi)用相同都為445元/m2，以后每增高一層，其建筑費(fèi)用就增加30元/m2.試設(shè)計(jì)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費(fèi)用最少，并求出其最少費(fèi)用.（總費(fèi)用為建筑費(fèi)用和征地費(fèi)用之和）.

設(shè)樓高為n層，總費(fèi)用為y元，則征地面積為，征地費(fèi)用為元，樓層建筑費(fèi)用為

試題詳情

[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]?元，從而

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（元）

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當(dāng)且僅當(dāng) , n=20（層）時(shí)，總費(fèi)用y最少.

故當(dāng)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20層時(shí), 最少總費(fèi)用為1000A元.

實(shí)際應(yīng)用題的數(shù)列模型是近兩年高考命題的熱門話題, 涉及到等差數(shù)列, 等比數(shù)列, 遞歸數(shù)列等知識(shí)點(diǎn), 化歸轉(zhuǎn)化是解答的通性同法.

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    例5  在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h，同時(shí)岸邊有一人,從同一地點(diǎn)開始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.,問此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？

講解: 不妨畫一個(gè)圖形,將文字語言翻譯為圖形語言, 進(jìn)而想法建立數(shù)學(xué)模型.

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設(shè)船速為v，顯然時(shí)人是不可能追上小船，當(dāng)km/h時(shí)，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個(gè)封閉的三角形時(shí)，人才能追上小船。設(shè)船速為v，人追上船所用

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時(shí)間為t，人在岸上跑的時(shí)間為，則人在水中游的時(shí)間

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為，人要追上小船，則人船運(yùn)動(dòng)的路線滿足如圖所示的三角形.

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由余弦是理得

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即

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整理得.

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要使上式在（0，1）范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則有且

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解得.

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  故當(dāng)船速在內(nèi)時(shí)，人船運(yùn)動(dòng)路線可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為，由此可見當(dāng)船速為2.5km/h時(shí), 人可以追上小船.

    涉及解答三角形的實(shí)際應(yīng)用題是近年高考命題的一個(gè)冷點(diǎn), 復(fù)課時(shí)值得關(guān)注.

    例6  一根水平放置的長(zhǎng)方體形枕木的安全負(fù)荷與它的寬度a成正比，與它的厚度

d的平方成正比，與它的長(zhǎng)度l的平方成反比.

   （1）將此枕木翻轉(zhuǎn)90°（即寬度變?yōu)榱撕穸龋�，枕木的安全�?fù)荷變大嗎？為什么？

   （2）現(xiàn)有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來截取成長(zhǎng)方形的枕木，其長(zhǎng)度即為枕木規(guī)定的長(zhǎng)度，問如何截取，可使安全負(fù)荷最大？

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 講解:（1）安全負(fù)荷為正常數(shù)）  翻轉(zhuǎn)

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，安全負(fù)荷變大.…4分當(dāng) ，安全負(fù)荷變小.

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 ∵枕木長(zhǎng)度不變，∴u=ad2最大時(shí)，安全負(fù)荷最大.

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，當(dāng)且僅當(dāng)，即取，

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取時(shí)，u最大， 即安全負(fù)荷最大.

三次函數(shù)最值問題一般可用三元均值不等式求解, 如果學(xué)過導(dǎo)數(shù)知識(shí), 其解法就更為方便, 省去了應(yīng)用均值不等式時(shí)配湊“定和”或“定積”的技巧性.

 

     例7  已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用

甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物

內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.

 

甲

乙

丙

維生素A（單位/千克）

600

700

400

維生素B（單位/千克）

800

400

500

成本（元/千克）

11

9

4

       （1）用x，y表示混合食物成本c元；

       （2）確定x，y，z的值，使成本最低.

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   講解:（1）依題意得   .

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（2）由 , 得

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       ，

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當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立., 

 ∴當(dāng)x=50千克，y=20千克，z=30千克時(shí)，混合物成本最低為850元.

線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容, 涉及此類問題的求解還可利用圖解法, 試試看.

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例8  隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員人（140<<420，且為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利萬元.據(jù)評(píng)估，在經(jīng)營(yíng)條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬元，但公司需付下崗職員每人每年萬元的生活費(fèi)，并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？

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    講解  設(shè)裁員人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為萬元,則

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試題詳情

          =

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依題意  ≥

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    ∴0<≤.

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又140<<420,  70<<210.

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(1)當(dāng)0<≤,即70<≤140時(shí)， , 取到最大值;

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(2)當(dāng)>,即140<<210時(shí)， , 取到最大值;

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  綜上所述，當(dāng)70<≤140時(shí)，應(yīng)裁員人；當(dāng)140<<210時(shí)，應(yīng)裁員人.

    在多字母的數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，分類求解時(shí)需要搞清：為什么分類？對(duì)誰分類？如何分類？

    例9  某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛?

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講解  設(shè)2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，……，每年新增汽車萬輛，則

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            ，

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所以，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：

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（1）顯然，若，則，即，此時(shí)

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（2）若，則數(shù)列為以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，.

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（i）若，則對(duì)于任意正整數(shù)，均有，所以，，此時(shí)，

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（ii）當(dāng)時(shí)，，則對(duì)于任意正整數(shù)，均有，所以，，

試題詳情

由，得

試題詳情

試題詳情

，

試題詳情

要使對(duì)于任意正整數(shù)，均有恒成立，

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即      

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對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，解這個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式 , 得

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,

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上式恒成立的條件為：，由于關(guān)于的函數(shù)單調(diào)遞減，所以，.

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    例10  為促進(jìn)個(gè)人住房商品化的進(jìn)程，我國(guó)1999年元月公布了個(gè)人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：

 

貸款期(年數(shù))

公積金貸款月利率(‰)

商業(yè)性貸款月利率(‰)

……

11

12

13

14

15

……

……

4.365

4.455

4.545

4.635

4.725

……

……

5.025

5.025

5.025

5.025

5.025

……


    汪先生家要購買一套商品房，計(jì)劃貸款25萬元，其中公積金貸款10萬元，分十二年還清；商業(yè)貸款15萬元，分十五年還清．每種貸款分別按月等額還款，問：
    (1)汪先生家每月應(yīng)還款多少元?
    (2)在第十二年底汪先生家還清了公積金貸款，如果他想把余下的商業(yè)貸款也一次性還清；那么他家在這個(gè)月的還款總數(shù)是多少?
    (參考數(shù)據(jù)：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651)


   講解  設(shè)月利率為r，每月還款數(shù)為a元，總貸款數(shù)為A元，還款期限為n月
　　第1月末欠款數(shù)　A(1＋r)－a
　　第2月末欠款數(shù)　[A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－a
    第3月末欠款數(shù)　[A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a
　　　　　　　　　　�。紸(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a
　　……
　　第n月末欠款數(shù)　
    得：                                  

　　對(duì)于12年期的10萬元貸款，n＝144，r＝4.455‰
　　∴
　　對(duì)于15年期的15萬元貸款，n＝180，r＝5.025‰
　　∴
　　由此可知，汪先生家前12年每月還款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月還款1268.22元．
　　(2)至12年末，汪先生家按計(jì)劃還款以后還欠商業(yè)貸款
　　　
　　其中A＝150000，a＝1268.22，r＝5.025‰  ∴X＝41669.53
    再加上當(dāng)月的計(jì)劃還款數(shù)2210.59元，當(dāng)月共還款43880.12元．   

    需要提及的是，本題的計(jì)算如果不許用計(jì)算器，就要用到二項(xiàng)展開式進(jìn)行估算，這在2002年全國(guó)高考第（12）題中得到考查.

    例11  醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測(cè)，病毒細(xì)胞的增長(zhǎng)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過108的時(shí)候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%．

（1）為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物？（精確到天）

（2）第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）

<menuitem id="qrwpy"><center id="qrwpy"></center></menuitem>

   

    
    

    
        
     
        
      
      
        天數(shù)t
        病毒細(xì)胞總數(shù)N
        1
        2
        3
        4
        5
        6
        7
        …
        1
        2
        4
        8
        16
        32
        64
        …
         
         
         
         
         
         
         
         
        講解 （1）由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n的函數(shù)為, 則由
        兩邊取對(duì)數(shù)得    n27.5,
           即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.
        （2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,
        再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,
        由題意≤108，兩邊取對(duì)數(shù)得
        ，
             故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物．
            本題反映的解題技巧是“兩邊取對(duì)數(shù)”，這對(duì)實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.
             例12 有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)=
+［g(0)- ］?e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).
        （1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；  
        （2）求證：當(dāng)g(0)< 時(shí)，湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重；  
        （3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%？
         講解（1）∵g(t)為常數(shù),  有g(shù)(0)-=0,
∴g(0)=   .                       
        (2) 我們易證得0<t1<t2, 則
        g(t1)-g(t2)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,
        ∵g(0)?<0,t1<t2,e>e,
        ∴g(t1)<g(t2)    .                                                       
        故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加，污染越來越嚴(yán)重.                 
        (3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)?e,設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?
        ∴=e，∴t=
ln20，
        故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.
        高考應(yīng)用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優(yōu)化型, 另外,估測(cè)計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn).當(dāng)然,數(shù)學(xué)高考應(yīng)用性問題關(guān)注當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的政治,經(jīng)濟(jì),文化, 緊扣時(shí)代的主旋律,凸顯了學(xué)科綜合的特色,是歷年高考命題的一道亮麗的風(fēng)景線.
         
         
        
				
	
        
		
        


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