題目列表(包括答案和解析)

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2.球的軸截面是大圓,它含有球的全部元素,所以有關(guān)球的計算,可作出球的一個大圓,化“球”為“圓”來解決問題.

試題詳情

1.因為“球”是“圓”在空間概念上的延伸,所以研究球的性質(zhì)時,應(yīng)注意與圓的性質(zhì)類比.

試題詳情

3.球的表面積公式和體積公式:設(shè)球的半徑為R,則球的表面積S=      ;球的體積V=    

典型例題
 
 

例1. 如圖,A、B、C是半徑為1的球面上的三點,B、C兩點間的球面距離為,點A與B、C兩點的球面距離都為,O為球心,求:

(1) 的大小;        

(2) 球心O到截面ABC的距離.

解:(1) 因為B、C兩點的球面距離為,即B、C兩點與球心連線所夾圓心角為,點A與B、C兩點的球面距離都為,即均為直角,所以

(2) 因為⊿BOC,⊿ABC都是等腰三角形,取BC的中點M,連OM,AM,過O作OH⊥AM于H,可證得OH即為O到截面ABC的距離.

變式訓(xùn)練1:  球面上有三點A、B、C,A和B及A和C之間的球面距離是大圓周長的,B和C之間的球面距離是大圓周長的,且球心到截面ABC的距離是,求球的體積.

解:設(shè)球心為O,由已知,易得∠AOB=∠AOC=,∠BOC=,過O作OD⊥BC于D,連AD,再過O作OE⊥AD于E,則OE⊥平面ABC于E,∴OE=. 在Rt△AOD中,由AD·OE=AO·ODOA=R=1.∴ V球=πR3=π.

例2. 如圖,四棱錐A-BCDE中,,且AC⊥BC,AE⊥BE.

(1) 求證:A、B、C、D、E五點都在以AB為直徑的同一球面上;

(2) 若求B、D兩點間的球面距離.

解:(1) 因為AD⊥底面BCDE,所以AD⊥BC,AD⊥BE,又因為AC⊥BC,AE⊥BE,所以BC⊥CD,BE⊥ED.故B、C、D、E四點共圓,BD為此圓的直徑.

取BD的中點M,AB的中點N,連接BD、AB的中點MN,則MN∥AD,所以MN⊥底面BCDE,即N的射影是圓的圓心M,有AM=BM=CM=DM=EM,故五點共球且直徑為AB.

(2) 若∠CBE=90°,則底面四邊形BCDE是一個矩形,連接DN,因為:

所以B、D兩點間的球面距離是.

變式訓(xùn)練2:過半徑為R的球面上一點M作三條兩兩互相垂直的弦MA、MB、MC.

(1) 求證:MA2+MB2+MC2為定值;

(2) 求△MAB,△MAC,△MBC面積之和的最大值.

解:(1) 易求得MA2+MB2+MC2=4R2!

(2) SMAB+SMAC+SMBC(MA·MB+MA·MC+MB·MC)≤(MA2+MB2+MC2)=2R2(當且僅當MA=MB=MC時取最大值).

例3.棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上,若過該球球心的一個截面(如圖),則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是(   )

A.          

B.

C.          

D.

解:設(shè)正四面體為正四面體ABCD,分析截面圖可知,截面經(jīng)過正四面體的一條棱設(shè)為CD,又過球心,設(shè)截面與棱AB交于E點,則E為AB的中點,易求得截面三角形的面積為,

故選(C).

變式訓(xùn)練3:已知三棱錐P-ABC中,E、F分別是AC、AB的中點,△ABC,△PEF都是正三角形,PF⊥AB.

(1) 證明:PC⊥平面PAB;

(2) 求二面角P-AB-C的平面角的余弦值;

(3) 若點P、A、B、C在一個表面積為12π的球面上,求△ABC的邊長.

解 (1) 連結(jié)CF,∵PE=EF=BC=AC  ∴AP⊥PC  ∵CF⊥AB, PF⊥AB, ∴AB⊥平面PCF  ∵AC平面PCF  ∴PC⊥AB  ∴PC⊥平面PAB.

(2) ∵AB⊥PF, AB⊥CF  ∴∠PFC為所求二面角的平面角

設(shè)AB=a, 則PF=EF=, CF=,

∴cos∠PFC=.

(3) 設(shè)PA=x, 球半徑為R 

∵PC⊥平面PAB,PA⊥PB 

∵4πR2=12π, ∴R=, 知△ ABC的外接圓為球之小圓,由x2x·2R.

得△ABC的邊長為2.

小結(jié)歸納
 
 

試題詳情

2.球的性質(zhì)

(1) 用一個平面去截一個球,截面是      

(2)球心和截面圓心的連線       于截面.

(3) 球心到截面的距離與球半徑及截面的半徑有以下關(guān)系:        

(4) 球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫     .被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫        

(5) 在球面上兩點之間的最短連線的長度,就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧長,這個弧長叫         

試題詳情

1.球:與定點的距離           定長的點的集合.

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3.在解正棱錐問題時,要注意利用四個直角三角形,其中分別含有九個元素(側(cè)棱、高、側(cè)棱與斜高在底面上的射影、側(cè)棱與側(cè)面與底面所成角、邊心距以及底面邊的一半)中的三個,已知兩個可求另一個.

第11課時     球

基礎(chǔ)過關(guān)
 

試題詳情

2.要從底面、側(cè)面、棱(特別是側(cè)棱)和截面(對角面及平行于底面的截面)四個方面掌握幾何性質(zhì),能應(yīng)用這些性質(zhì)研究線面關(guān)系.

試題詳情

1.要準確理解棱柱、棱錐的有關(guān)概念,弄清楚直棱柱、正棱錐概念的內(nèi)涵和外延.

試題詳情

4.正棱錐的性質(zhì):

① 正棱錐各側(cè)棱     ,各側(cè)面都是    的等腰三角形,各等腰三角形底邊上的高     (它叫做正棱錐的     );

② 正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個     三角形,正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影組成一個     三角形.

典型例題
 
 

例1.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,

點E為CC1的中點,點F為BD1的中點.

⑴ 證明:EF為BD1與CC1的公垂線;

⑵ 求點F到面BDE的距離.

答案(1)略;  (2)

變式訓(xùn)練1:三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=a,

BC、AC、AA1長均為a,A1在底面ABC上的射影O在AC上.

⑴ 求AB與側(cè)面AC1所成的角;

⑵ 若O點恰是AC的中點,求此三棱柱的側(cè)面積.

答案(1) 45°;(2)

例2. 如圖,正三棱錐P-ABC中,側(cè)棱PA與底面ABC成60°角.

(1)求側(cè)PAB與底面ABC成角大。

(2)若E為PC中點,求AE與BC所成的角;

(3)設(shè)AB=,求P到面ABC的距離.

解:(1)

(2)取PB中點F,連結(jié)EF,則∠AEF為所求的角,求得∠AEF=;

(3)P到平面ABC的距離為

變式訓(xùn)練2: 四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,

CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.

(1)求證:AO⊥平面BCD;

(2)求異面直線AB與CD所成的角;

(3)求點E到平面ACD的距離.

答案:(1)易證AO⊥BD,AO⊥OC,∴AO⊥平面BCD;

(2);(3)用等體積法或向量法可求得點E到平面ACD的距離是

例3. 四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB=2,CD=1,∠DAB=45°;側(cè)面PAD是等腰直角三角形,AP=PD,且平面PAD⊥平面ABCD.

⑴ 求證:PA⊥BD;

⑵ 求PB與底面ABCD所成角的正切值;

⑶ 求直線PD與BC所成的角.

答案:(1)略;(2);(3)60°

變式訓(xùn)練3:在所有棱長均為a的正三棱柱ABC-A1B1C1中,D為BC的中點.

   ⑴ 求證:AD⊥BC1;

⑵ 求二面角A-BC1-D的大;

⑶ 求點C到平面ABC1的距離.

提示:(1)證AD⊥平面BB1C1C;(2) arc tan;(3) a.

例4.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=CC1=1,M為AB的中點,A1D=3DB1

(1)求證:平面CMD⊥平面ABB1A1;

(2)求點A1到平面CMD的距離;

(3)求MD與B1C1所成角的大。

提示(1)轉(zhuǎn)證CM⊥平面A1B;

(2)過A1作A1E⊥DM,易知A1E⊥平面CMD,∴求得A1E=1;

(3)異面直線MD與B1C1所成的角為

變式訓(xùn)練4:在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,AB=,O為對角線A1C的中點.

⑴ 求OD與底面ABCD所成的角的大。

⑵ P為AB上一動點,當P在何處時,平面POD⊥平面A1CD?并證明你的結(jié)論.

答案(1) 30°;(2) 當P為AB的中點時,平面POD⊥平面A1CD.

小結(jié)歸納
 
 

柱體和錐體是高考立體幾何命題的重要載體,因此,在學(xué)習(xí)時要注意以下三點.

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3.正棱錐的定義:如果一個棱錐的底面是    多邊形,且頂點在底面的射影是底面的     ,這樣的棱錐叫做正棱錐.

試題詳情


同步練習(xí)冊答案